Trong các đồ thị hàm số dưới đây, đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng $y=1$ là đường tiệm cận ngang?

Bài toán gốc

Trong các đồ thị hàm số dưới đây, đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng $y=1$ là đường tiệm cận ngang?

A. $f(x) = x-\sqrt{x^2+2x + 3}$.

B. $f(x) = \dfrac{2x -3}{2-x}$.

C. $f(x) = \dfrac{2x-1}{-2+2x}$.

D. $f(x) = \dfrac{1-x}{x-3}$.

Lời giải: Ta xét $\underset{x \to \pm\infty}{\lim} f(x)=1$ hoặc $\underset{x \to \pm\infty}{\lim} f(x)=1$.
Do đó, đồ thị hàm số $f(x) = \dfrac{2x-1}{-2+2x}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài tập xác định tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị hàm số. Đường thẳng y = L là TCN của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = L$ hoặc $\underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = L$. Đối với hàm phân thức hữu tỉ $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ có bậc tử bằng bậc mẫu, TCN được xác định bằng tỉ số hệ số của các bậc cao nhất.

Bài toán tương tự

Trong các đồ thị hàm số dưới đây, đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng $y=-3$ là đường tiệm cận ngang?

$A. f(x) = \dfrac{3x-1}{x+2}$.

$B. f(x) = \dfrac{1-3x}{x+4}$.

$C. f(x) = \dfrac{x+1}{x^2-3}$.

$D. f(x) = x – \sqrt{x^2-3x+1}$.

Đáp án đúng: B

Lời giải ngắn gọn: Xét giới hạn của các hàm số khi $x \to \pm\infty$. Ta có:

Đối với đáp án B: $f(x) = \dfrac{1-3x}{x+4}$.
$$\underset{x \to \pm\infty}{\lim} f(x) = \underset{x \to \pm\infty}{\lim} \dfrac{-3x}{x} = -3$$
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=-3$ là đường tiệm cận ngang.