Bài toán gốc
Tìm $\int{\dfrac{5x^3+2x^{2}-3}{x^{3}}\text{d}x}$
A. $\dfrac{3}{4}\dfrac{1}{x^4}+2\ln x+5x+C$
B. $\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{x^2}+2\ln x+5x+C$
C. $\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{x^2}+2\ln|x|+5x+C$
D. $6\dfrac{1}{x^2}+2\ln|x|+5x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là bài toán tìm nguyên hàm của một hàm phân thức đại số. Phương pháp giải là chia từng hạng tử của tử thức cho mẫu thức để biến đổi hàm số về dạng tổng (hoặc hiệu) của các hàm lũy thừa cơ bản $x^n$ và hàm $\frac{1}{x}$. Sau đó, áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \neq -1$) và $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1.** Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \dfrac{4x^4 – 3x^2 + 6}{x^2}$.
A. $\dfrac{4}{3}x^3 – 3x – 6x^{-1} + C$.
B. $4x^3 – 3x – \dfrac{6}{x} + C$.
C. $\dfrac{4}{3}x^3 – 3x + \dfrac{6}{x} + C$.
D. $\dfrac{4}{3}x^3 – 3x – \dfrac{6}{x} + C$.
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $f(x) = 4x^2 – 3 + 6x^{-2}$. Nguyên hàm là $\int f(x) dx = 4\dfrac{x^3}{3} – 3x + 6\dfrac{x^{-1}}{-1} + C = \dfrac{4}{3}x^3 – 3x – \dfrac{6}{x} + C$.
**2.** Tính tích phân bất định $I = \int \dfrac{x^2 – 4x + 1}{x} dx$.
A. $\dfrac{x^2}{2} – 4x + \ln|x| + C$.
B. $x^2 – 4x + \ln|x| + C$.
C. $x – 4 + \dfrac{1}{x} + C$.
D. $\dfrac{x^2}{2} – 4x + \dfrac{1}{x^2} + C$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\dfrac{x^2 – 4x + 1}{x} = x – 4 + \frac{1}{x}$. $I = \int (x – 4 + \frac{1}{x}) dx = \frac{x^2}{2} – 4x + \ln|x| + C$.
**3.** Tính nguyên hàm $G(x) = \int \dfrac{6x^5 + 5x^3 – 2x^2}{3x^4} dx$.
Đáp án: $x^2 + \frac{5}{3}\ln|x| + \frac{2}{3x} + C$.
Lời giải ngắn gọn: Biến đổi hàm số: $\dfrac{6x^5 + 5x^3 – 2x^2}{3x^4} = 2x + \frac{5}{3x} – \frac{2}{3x^2} = 2x + \frac{5}{3}x^{-1} – \frac{2}{3}x^{-2}$. Nguyên hàm là $G(x) = x^2 + \frac{5}{3}\ln|x| – \frac{2}{3}\frac{x^{-1}}{-1} + C = x^2 + \frac{5}{3}\ln|x| + \frac{2}{3x} + C$.
**4.** Cho $f(x) = \dfrac{x^4 – 2x + 1}{\sqrt{x}}$. Tìm nguyên hàm của $f(x)$.
A. $\frac{2}{9}x^{9/2} – \frac{4}{3}x^{3/2} + 2\sqrt{x} + C$.
B. $\frac{2}{7}x^{7/2} – \frac{4}{3}x^{3/2} + 2\sqrt{x} + C$.
C. $\frac{1}{7}x^{7/2} – \frac{1}{3}x^{3/2} + \sqrt{x} + C$.
D. $\frac{2}{9}x^{9/2} – \frac{4}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $f(x) = x^{7/2} – 2x^{1/2} + x^{-1/2}$. Nguyên hàm là $\frac{x^{9/2}}{9/2} – 2\frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{9}x^{9/2} – \frac{4}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$.
**5.** Tính nguyên hàm $H = \int \dfrac{12x^5 – 9x^2 + 4x – 6}{3x^3} dx$.
A. $4x^3 – 3\ln|x| – \frac{4}{3x} + \frac{1}{x^2} + C$.
B. $\frac{4}{3}x^3 – 3\ln|x| – \frac{4}{3x} + \frac{1}{x^2} + C$.
C. $\frac{4}{3}x^3 – 3\ln|x| + \frac{4}{3x^2} + \frac{1}{x^2} + C$.
D. $4x^3 – 3\ln|x| + \frac{4}{3x} – \frac{1}{x^2} + C$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Biến đổi hàm số: $f(x) = 4x^2 – 3x^{-1} + \frac{4}{3}x^{-2} – 2x^{-3}$. Nguyên hàm $H = 4\frac{x^3}{3} – 3\ln|x| + \frac{4}{3}\frac{x^{-1}}{-1} – 2\frac{x^{-2}}{-2} + C = \frac{4}{3}x^3 – 3\ln|x| – \frac{4}{3x} + \frac{1}{x^2} + C$.