Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{5x^4+x^3-3x^2+4x-4}{x^3+x^2+3x-4}$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$

Bài toán gốc

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{5x^4+x^3-3x^2+4x-4}{x^3+x^2+3x-4}$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$. Tính $ab$.

A. $-22$.

B. $-18$.

C. $-17$.

D. $-20$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{n}}+{{b}_{1}}{{x}^{n-1}}+…}{{{a}_{2}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{2}}{{x}^{n-2}}+…}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=5x-4$.

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán yêu cầu tìm tiệm cận xiên (TCX) của hàm số phân thức hữu tỉ có bậc tử số lớn hơn bậc mẫu số đúng 1 đơn vị (bậc 4 trên bậc 3). Phương pháp giải là sử dụng định nghĩa hoặc phép chia đa thức. Đường tiệm cận xiên có dạng $y=ax+b$, trong đó $a = \lim_{x\to\infty} \frac{y}{x}$ và $b = \lim_{x\to\infty} (y – ax)$. Hoặc thực hiện phép chia đa thức $P(x) = Q(x)(ax+b) + R(x)$, khi đó $y=ax+b$ là phương trình TCX.

Bài toán tương tự

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^4-3x^3+x^2+5}{x^3-x^2+2x+1}$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$. Tính $a+b$.

A. 1.

B. -1.

C. 3.

D. 0.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: Ta xác định $a$ và $b$ bằng cách tính giới hạn hoặc thực hiện phép chia đa thức:
1. Hệ số góc $a$: $a = \lim_{x\to\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x^4}{x^4} = 2$.
2. Tung độ gốc $b$: $b = \lim_{x\to\infty} (y – ax) = \lim_{x\to\infty} \left(\dfrac{2x^4-3x^3+x^2+5}{x^3-x^2+2x+1} – 2x\right)$.
Quy đồng mẫu số, tử số mới là $(2x^4-3x^3+x^2+5) – 2x(x^3-x^2+2x+1) = -x^3 – 3x^2 – 2x + 5$.
Do đó, $b = \lim_{x\to\infty} \dfrac{-x^3 – 3x^2 – 2x + 5}{x^3-x^2+2x+1} = -1$.
Phương trình TCX là $y=2x-1$. Ta có $a=2, b=-1$.
Giá trị cần tính là $a+b = 2 + (-1) = 1$.