Ở một vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ $Oxy$ với đơn vị đo tương ứng $1$ km có hòn đảo ở $O$ thì đương bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$. Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Lời giải
Đáp án: $2,2$.
Độ dài ngắn nhất của tuyến cáp treo nối với đường bao của khu đô thị chính là khoảng cách từ $O$ tới điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$.
Xét hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$ với $x\ne 0$.
Ta có ${y}’=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x=1 \\
x=-1 \\
\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có điểm cực đại là $A\left( -1;-2 \right)$.
Khi đó $OA=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\approx 2,2$.
Vậy độ dài của tuyến cáp treo xấp xỉ $2,2$ km.