Một vật thể có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $D$ quanh trục $\Delta$ một vòng, biết rằng
a) Hình phẳng $D$ giới hạn bởi một parabol $(P)$ và đường thẳng $a$

Một vật thể có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $D$ quanh trục $\Delta$ một vòng, biết rằng
a) Hình phẳng $D$ giới hạn bởi một parabol $(P)$ và đường thẳng $a$.
b) Đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ là trục đối xứng của parabol $(P)$.
c) Đường thẳng $a$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm có khoảng cách $6$ dm, khoảng cách từ đỉnh của $(P)$ đến $\Delta$ bằng $3$ dm.
Thể tích của vật thể bằng bao nhiêu dm$^3$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án: 42,4

Lời giải: Gắn hệ tọa độ $Oxy$ với đơn vị mỗi trục là dm, trục $Ox$ trùng đường thẳng $\Delta$, gốc tọa độ trùng đỉnh parabol như hình vẽ.

Parabol đi qua điểm $A(3;3)$ nên $3^2=2p\cdot 3\Leftrightarrow 2p=3$.
Phương trình parabol là $y^2=3x$.
Một nửa parabol phía trên trục $Ox$ là đồ thị hàm số $y=f(x)=\sqrt{3x}$.
Thể tích của vật thể là $V=\pi\displaystyle\int\limits_0^3\left[f(x)\right]^2\mathrm{d}x=\pi \displaystyle\int\limits_0^3 (3x)\mathrm{d}x=\dfrac{3\pi x^2}{2}\Big|_0^3=\dfrac{27\pi}{2}\approx 42{,}4$.