Một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) là

Đặt:\(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}dt = xdx\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{x}{{{x^2} + 1}}dx} \\
= \int {\frac{1}{t}.\frac{1}{2}dt} = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{t}dt} = \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C
\end{array}\)

Chọn C=0 ta được \(\int {f\left( x \right)dx} =\frac{1}{2}ln(x^2+1)\)