Một người muốn trang trí cửa sổ bằng rèm vải phẳng với đường viền là các đường parabol như hình vẽ

Một người muốn trang trí cửa sổ bằng rèm vải phẳng với đường viền là các đường parabol như hình vẽ. Biết kích thước khung làm rèm cửa là $84$ cm và $126$ cm (không tính phần khung viền bên ngoài). Diện tích phần rèm bằng bao nhiêu?
\definecolor{ffdxqq}{rgb}{1.,0.8431372549019608,0.}
\scalebox{0.6}{

}
Đáp án: 5880

Lời giải: \definecolor{ffdxqq}{rgb}{1.,0.8431372549019608,0.}
\scalebox{0.6}{

}
Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.
Gọi pararabol phía trên là $y_1=ax^2$, parabol đi qua điểm $(42;84)$ nên $84=42^2 a \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{21}$.
Suy ra $y_1=\dfrac{x^{2}}{21}$ nên diện tích một nửa rèm bên trên là
$S_1=\int \limits_{0}^{42} \left( 84-\dfrac{x^{2}}{21} \right) \text{d} x=2352$.
Gọi pararabol phía dưới là $y_2=ax^2$, parabol đi qua điểm $(21;-42)$ nên $-42=21^2 a \Leftrightarrow a=- \dfrac{2}{21}$.
Suy ra $y_2=- \dfrac{2 x^{2}}{21}$ nên diện tích một nửa rèm bên dưới là
$S_2=\int \limits_{0}^{21} \left( – \dfrac{2 x^{2}}{21}+42 \right) \text{d} x=588$.
Vậy diện tích rèm cửa là $S=2(S_1+S_2)=2 \left(2352+588\right)=5880$.