Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau ${x}$ tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ ${v(x)=10+2 \sqrt{2 x+1}}$ (người/tháng)

Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau ${x}$ tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ ${v(x)=10+2 \sqrt{2 x+1}}$ (người/tháng). Dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. Cho biết $$

Lời giải

Trả lời: 57

Gọi ${f(x)}$ là dân số của thành phố sau ${x}$ tháng kể từ bây giờ.

Tốc độ thay đổi của dân số là ${v(x)=10+2 \sqrt{2 x+1}}$.

Suy ra ${f(x)=\int(10+2 \sqrt{2 x+1}) d x=10 x+2 \int \sqrt{2 x+1} d x}$.

Do ${\int \sqrt{2 x+1} d x=\dfrac{1}{2} \int(2 x+1)^{\dfrac{1}{2}} d(2 x+1)=\dfrac{1}{3}(2 x+1)^{\dfrac{3}{2}}+C}$, nên ta có

${f(x)=10 x+\dfrac{2}{3}(2 x+1)^{\dfrac{3}{2}}+C

}$

Số dân trong 4 tháng tới là

${f(4)-f(0)=10.4+\dfrac{2}{3}(2.4+1)^{\dfrac{3}{2}}+C-\left(0+\dfrac{2}{3}+C\right) \approx 57

}$ (người).