Một lô hạt giống được thu gom từ ba nguồn khác nhau. Nguồn I chiếm $\dfrac{1}{2}$ số hạt của lô, nguồn II chiếm $\dfrac{1}{3}$ số hạt của lô, còn lại là nguồn III. Tỉ lệ hạt nảy mầm đối với các hạt thuộc các nguồn I, II, III tương ứng là $90\mathrm{\,\% },80\mathrm{\,\% },70\mathrm{\,\% }$. Lấy ngẫu nhiên 1 hạt.

Bài toán: Một lô hạt giống được thu gom từ ba nguồn khác nhau. Nguồn I chiếm $\dfrac{1}{2}$ số hạt của lô, nguồn II chiếm $\dfrac{1}{3}$ số hạt của lô, còn lại là nguồn III. Tỉ lệ hạt nảy mầm đối với các hạt thuộc các nguồn I, II, III tương ứng là $90\mathrm{\,% },80\mathrm{\,% },70\mathrm{\,% }$. Lấy ngẫu nhiên 1 hạt.
a) Hạt lấy ra là hạt nảy mầm với xác suất là $80\mathrm{\,% }$.
b) Giả sử hạt lấy ra không nảy mầm, ta nói rằng “Nhiều khả năng hạt đó thuộc nguồn III”.
c) Ta nói rằng “Xác suất để hạt lấy ra là không nảy mầm” là như nhau với cả ba nguồn.
d) “Xác suất để hạt không nảy mầm” nhiều khả năng thuộc vào hạt giống lấy ra từ nguồn II.
Lời giải
Gọi $N_{1},N_{2},N_{3}$ lần lượt là các biến cố “Hạt lấy ra từ nguồn I”, “Lấy ra từ nguồn II”, “Lấy ra từ nguồn III”. Ta có $P\left(N_{1}\right)=\dfrac{1}{2};P\left(N_{2}\right)=\dfrac{1}{3};P\left(N_{3}\right)=\dfrac{1}{6}$
Gọi $K$ là biến cố “Hạt lấy ra nảy mầm”

a) Sai. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
$\begin{array}{*{35}{r}}
{} & P\left( K \right)=P\left( {{N}_{1}} \right)P\left( K\mid {{N}_{1}} \right)+P\left( {{N}_{2}} \right)P\left( K\mid {{N}_{2}} \right)+P\left( {{N}_{3}} \right)P\left( K\mid {{N}_{3}} \right) \\
{} & ~=\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{10}+\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{10}+\frac{1}{6}\cdot \frac{7}{10}=\frac{27+16+7}{60}=\frac{5}{6}\approx 83,33\text{ }\!\! {} & ~\Rightarrow \text{ }\!\!~\!\!\text{ a) }\!\!~\!\!\text{ sai}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }\left( \Rightarrow P\left( \overset{}{\mathop{K}}\, \right)=\frac{1}{6} \right) \\
\end{array}$
Theo công thức Bayes ta có
$\begin{array}{*{35}{r}}
{} & P\left( {{N}_{1}}\mid \overset{}{\mathop{K}}\, \right)=\frac{P\left( {{N}_{1}} \right)P\left( \overset{}{\mathop{K}}\,\mid {{N}_{1}} \right)}{P\left( \overset{}{\mathop{K}}\, \right)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{10}}{\frac{1}{6}}=\frac{3}{20};P\left( {{N}_{2}}\mid \overset{}{\mathop{K}}\, \right)=\frac{P\left( {{N}_{2}} \right)P\left( \overset{}{\mathop{K}}\,\mid {{N}_{2}} \right)}{P\left( \overset{}{\mathop{K}}\, \right)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{10}}{\frac{1}{6}}=\frac{8}{20}; \\
{} & P\left( {{N}_{3}}\mid \overset{}{\mathop{K}}\, \right)=\frac{P\left( {{N}_{3}} \right)P\left( \overset{}{\mathop{K}}\,\mid {{N}_{3}} \right)}{P\left( \overset{}{\mathop{K}}\, \right)}=\frac{\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{10}}{\frac{1}{6}}=\frac{3}{20} \\
\end{array}$
Vậy $P\left( {{N}_{2}}\mid \overset{}{\mathop{K}}\, \right)>P\left( {{N}_{1}}\mid \overset{}{\mathop{K}}\, \right)=P\left( {{N}_{3}}\mid \overset{}{\mathop{K}}\, \right)\left( 1 \right)$. Từ (1) suy ra b) sai; c) sai; d) đúng.