Có hai hộp bút, hộp thứ nhất đựng 5 chiếc bút đỏ và 4 chiếc bút xanh, hộp thứ hai đựng 4 chiếc bút đỏ và 6 chiếc bút xanh, tất cả những chiếc bút đều có cùng hình dạng, kích thước và khối lượng

Bài toán: Có hai hộp bút, hộp thứ nhất đựng 5 chiếc bút đỏ và 4 chiếc bút xanh, hộp thứ hai đựng 4 chiếc bút đỏ và 6 chiếc bút xanh, tất cả những chiếc bút đều có cùng hình dạng, kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một chiếc bút từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên một chiếc bút từ hộp thứ hai.

a) Xác suất để chiếc bút lấy từ hộp thứ nhất có màu đỏ là $\dfrac{5}{9}$.
b) Xác suất để chiếc bút được lấy ra từ hộp thứ hai là chiếc bút chuyển từ hộp thứ nhất sang là $\dfrac{1}{10}$. c) Xác suất để chiếc bút được lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ và là chiếc bút được chuyển từ hộp thứ nhất sang là $\dfrac{5}{99}$.
d) Xác suất để chiếc bút được lấy ra từ hộp thứ hai là chiếc bút được chuyển từ hộp thứ nhất sang, biết rằng chiếc bút đó có màu đỏ là $\dfrac{5}{41}$.

Lời giải

Hộp thứ nhất có tất cả 9 chiếc bút, trong đó có 5 chiếc bút đỏ. Do đó xác suất để chiếc bút lấy từ hộp thứ nhất có màu đỏ là $\dfrac{5}{9}$. Do đó ý a) đúng

Khi chuyển 1 chiếc bút từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì hộp thứ hai có tất cả 11 chiếc bút. Do đó xác suất để chọn được đúng chiếc bút chuyển từ hộp thứ nhất sang là $\dfrac{1}{11}$. Do đó ý b) sai

Gọi A là biến cố “Chiếc bút lấy từ hộp thứ hai là chiếc bút chuyển từ hộp thứ nhất sang”. Theo lập luận trên ta có $P\left(A\right)=\dfrac{1}{11}$.

Gọi $B$ là biến cố “Chiếc bút lấy từ hộp thứ hai có màu đỏ”.
Khi đó biến cố “Chiếc bút được lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ và là chiếc bút được chuyển từ hộp thứ nhất sang” là $A\cap B$. Ta có $P\left(A\cap B\right)=P\left(B\mid A\right)P\left(A\right)=\dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{1}{11}=\dfrac{5}{99}$. Do đó ý c) đúng

Xác suất để chiếc bút được lấy ra từ hộp thứ hai là chiếc bút được chuyển từ hộp thứ nhất sang, biết rằng chiếc bút đó có màu đỏ, là $P\left(A\mid B\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$. Để tính $P\left(B\right)$ ta lập luận như sau: nếu chiếc bút được chuyển từ hộp thứ nhất sang có màu xanh (với xác suất là $\dfrac{4}{9}$ ) thì khi đó xác suất để chiếc bút được chọn từ hộp thứ hai có màu đỏ là $\dfrac{4}{11}$; nếu chiếc bút được chuyển từ hộp thứ nhất sang có màu đỏ (với xác suất là $\dfrac{5}{9}$ ) thì khi đó xác suất để chiếc bút được chọn từ hộp thứ hai có màu đỏ là $\dfrac{5}{11}$; suy ra $P\left(B\right)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{4}{11}+\dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{5}{11}=\dfrac{41}{99}$. Vậy $P\left(A\mid B\right)=\dfrac{5}{99}:\dfrac{41}{99}=\dfrac{5}{41}$. Do đó ý d) đúng