Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h\left( t \right)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h’\left( t \right)=3a{{t}^{2}}+bt\left( {{m}^{3}}/s \right)$ và ban đầu bể không có nước. Sau $5$ giây thì thể tích nước trong bể là $150{{m}^{3}}$. Sau $10$ giây thì thể tích nước trong bể là $1100{{m}^{3}}$. Hỏi thể tích nước trong bể là bao nhiêu m3 sau khi bơm được $20$ giây.
Lời giải
Trả lời: 8400
Ta có: $h’\left( t \right)=3a{{t}^{2}}+bt$
$\Rightarrow h\left( t \right)=\int{\left( 3a{{t}^{2}}+bt \right)}dt=a{{t}^{3}}+\dfrac{1}{2}b{{t}^{2}}+C$ $\Rightarrow h\left( t \right)=a{{t}^{3}}+\dfrac{1}{2}b{{t}^{2}}+C$
Chọn $t=0\Rightarrow h\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0$ $\Rightarrow h\left( t \right)=a{{t}^{3}}+\dfrac{1}{2}b{{t}^{2}}$
Sau $5$ giây thì thể tích nước trong bể là $150{{m}^{3}}$ : $h\left( 5 \right)=150\Leftrightarrow 125a+\dfrac{25}{2}b=150$
Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100{{m}^{3}}$ : $h\left( 10 \right)=1100\Leftrightarrow 1000a+50b=1100$
Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
125a+\dfrac{25}{2}b=150 \\
1000a+50b=1100 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a=1 \\
b=2 \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow h\left( t \right)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}$
Nên thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là $h\left( 20 \right)={{20}^{3}}+{{20}^{2}}=8400{{m}^{3}}$