Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h\left( t \right)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h’\left( t \right)=3a{{t}^{2}}+bt\left( {{m}^{3}}/s \right)$ và ban đầu bể không có nước. Sau $5$ giây thì thể tích nước trong bể là $150{{m}^{3}}$. Sau $10$ giây thì thể tích nước trong bể là $1100{{m}^{3}}$. Hỏi thể tích nước trong bể là bao nhiêu m³ sau khi bơm được $20$ giây.

Lời giải

Trả lời: 8400

Ta có: $h’\left( t \right)=3a{{t}^{2}}+bt$

$\Rightarrow h\left( t \right)=\int{\left( 3a{{t}^{2}}+bt \right)}dt=a{{t}^{3}}+\dfrac{1}{2}b{{t}^{2}}+C$ $\Rightarrow h\left( t \right)=a{{t}^{3}}+\dfrac{1}{2}b{{t}^{2}}+C$

Chọn $t=0\Rightarrow h\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0$ $\Rightarrow h\left( t \right)=a{{t}^{3}}+\dfrac{1}{2}b{{t}^{2}}$

Sau $5$ giây thì thể tích nước trong bể là $150{{m}^{3}}$ : $h\left( 5 \right)=150\Leftrightarrow 125a+\dfrac{25}{2}b=150$

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100{{m}^{3}}$ : $h\left( 10 \right)=1100\Leftrightarrow 1000a+50b=1100$

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}

125a+\dfrac{25}{2}b=150 \\

1000a+50b=1100 \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

a=1 \\

b=2 \\

\end{array} \right.$

$\Rightarrow h\left( t \right)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}$

Nên thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là $h\left( 20 \right)={{20}^{3}}+{{20}^{2}}=8400{{m}^{3}}$