Lý thuyết Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn – Toán 10 Cánh Diều

Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn – Toán 10 Cánh Diều

=======

1.1. Bất phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ: Cho bất phương trình bậc hai một ẩn \({x^2} – 4{\rm{x}} + 3 < 0(1)\). Trong các giá trị sau đây của x, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình (1)?

a) x = 2;

b) x=0;

c) x = 4.

Giải

a) Với x=2, ta có: 2² – 4.2 + 3 = – 1 <0. Vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình (1).

b) Với x = 0, ta có: 0² – 4. 0 + 3 = 3 >0. Vậy x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

c) Với x= 3, ta có: 3² – 4. 3 + 3 = 0. Vậy x = 3 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

1.2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

* Giải bằng cách xét dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Xác định dấu của a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có)

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị x sao cho f(x) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ \(\Delta  < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)

+ \(\Delta  = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ – b}}{{2a}}} \right\}\)

+ \(\Delta  < 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)

* Giải bằng cách sử dụng đồ thị

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c > 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía trên trục hoành.

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c < 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía dưới trục hoành.

Ví dụ:  Quan sát đồ thị ở Hình 27, Hình 28 và giải các bất phương trình bậc hai sau:

\(\begin{array}{l}
a){x^2} – 5x + 4 < 0\\
b) – {x^2} + 3x > 0
\end{array}\)

Giải

a) Quan sát đồ thị ở hình 27, ta thấy: \({x^2} – 5x + 4 < 0\) biểu diễn phần parabol \(y = {x^2} – 5x + 4\) nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với 1 < x < 4.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} – 5x + 4 < 0\) là khoảng (1 ; 4).

b) Quan sát đồ thị ở hình 28, ta thấy: \( – {x^2} + 3x > 0\) biểu diễn phần parabol \(y =  – {x^2} + 3x\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với 0 < x < 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( – {x^2} + 3x > 0\) là khoảng (0; 3).

1.3. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn   

Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh; …

Câu 1:  Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(3{x^2} – 2x + 4 \le 0\)

b) \( – {x^2} + 6x – 9 \ge 0\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(a = 3 > 0\) và tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} – 2x + 4\) có \(\Delta ‘ = {1^2} – 3.4 =  – 11 < 0\)

=> \(f\left( x \right) = 3{x^2} – 2x + 4\) vô nghiệm.

=> \(3{x^2} – 2x + 4 > 0\forall x \in \mathbb{R}\)

b) Ta có: \(a =  – 1 < 0\) và \(\Delta ‘ = {3^2} – \left( { – 1} \right).\left( { – 9} \right) = 0\)

=> \(f\left( x \right) =  – {x^2} + 6x – 9\) có nghiệm duy nhất \(x = 3\).

=> \( – {x^2} + 6x – 9 < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Câu 2:  Giải mỗi bất phương trình bậc hai sau bằng cách sử dụng đồ thị:

a) \({x^2} + 2x + 2 > 0\)

b) \( – 3{x^2} + 2x – 1 > 0\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có đồ thị:

Từ đồ thị ta thấy \({x^2} + 2x + 2 > 0\) biểu diễn phần parabol \(y = {x^2} + 2x + 2\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} + 2x + 2 > 0\) là \(\mathbb{R}\).

b) Ta có đồ thị:

Từ đồ thị ta thấy \( – 3{x^2} + 2x – 1 > 0\) biểu diễn phần parabol \(y =  – 3{x^2} + 2x – 1\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với \(x \in \emptyset \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( – 3{x^2} + 2x – 1 > 0\) là \(\emptyset \).

============

Thuộc chủ đề: Chương 3: Hàm số và đồ thị