Lý thuyết Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai – Toán 10 Cánh Diều

Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai – Toán 10 Cánh Diều

=======

1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0,\Delta  = {b^2} – 4ac.\) + \(\Delta  < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\) + \(\Delta  = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ – b}}{{2a}}} \right\}\) + \(\Delta  > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\), khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { – \infty ;{x_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2}; + \infty } \right)\); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

Nhận xét: Trong định lí, có thể thay biệt thức \(\Delta  = {b^2} – 4{\rm{a}}c\) bằng biệt thức thu gọn \(\Delta ‘ = {\left( {b’} \right)^2} – {\rm{a}}c\) với b = 2b’

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1: Xét dấu của tam thức bậc hai: \(f(x) = 2{x^2} + 3x – 2\)

Giải

\(\Delta  = {3^2} – 4.2.( – 2) = 25 > 0\)

Tam thức bậc hai \(f(x) = 2{x^2} + 3x – 2\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  – 2,{x_2} = \frac{1}{2}\) và hệ số \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu \(f(x)\) như sau:

Ví dụ 2:  Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) ứng với đô thị hàm số y = f(x) được cho ở mỗi hình sau.

Giải

a) Từ đỗ thị Hình a ta có nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là x = 1. Bảng xét dấu tam thức f(x) là:

b) Từ đồ thị Hình b ta có tam thức bậc hai f(x) vô nghiệm. Bảng xét dấu tam thức f(x) là:

c) Từ đồ thị Hình c ta có tam thức bậc hai f(x) có hai ngghiệm là x₁ = -2 và x₂ = 1. Bảng xét dấu tam thức f(x) là:

Câu 1:  Quan sát hình sau và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2\)

 

b) Quan sát hình sau và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  – {x^2} + 4x – 5\)

 

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) với dấu của hệ số a trong trường hợp \(\Delta  < 0\).

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2 > 0\).

b) Ta thấy đồ thị nằm dưới trục hoành nên \(f\left( x \right) =  – {x^2} + 4x – 5 < 0\).

c) Ta thấy \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2\) có hệ số a=1>0 và \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2 > 0\)

\(f\left( x \right) =  – {x^2} + 4x – 5\) có hệ số a=-1

Như thế, khi \(\Delta  < 0\) thì tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) cùng dấu với hệ số a

Câu 2:  Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) =  – 2{x^2} + 4x – 5\)

b) \(f\left( x \right) =  – {x^2} + 6x – 9\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(a =  – 2 < 0\), \(b = 4 =  > b’ = 2\) và \(c =  – 5\)

\(\Delta ‘ = {2^2} – \left( { – 2} \right).\left( { – 5} \right) =  – 6 < 0\)

=>\(f\left( x \right)\) cùng dấu âm với hệ số a.

=> \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\)

b) Ta có: \(a =  – 1,b = 6,c =  – 9 =  > b’ = 3\)

\(\Delta ‘ = {3^2} – \left( { – 1} \right).\left( { – 9} \right) = 0\)

\(\frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – b’}}{a} = 3\)

=> \(f\left( x \right)\) cùng dấu âm với hệ số a với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

=> \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

 

============

Thuộc chủ đề: Chương 3: Hàm số và đồ thị