Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai – Toán 10 Cánh Diều
=======
1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0,\Delta = {b^2} – 4ac.\) + \(\Delta < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\) + \(\Delta = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ – b}}{{2a}}} \right\}\) + \(\Delta > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\), khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { – \infty ;{x_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2}; + \infty } \right)\); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\). |
---|
Nhận xét: Trong định lí, có thể thay biệt thức \(\Delta = {b^2} – 4{\rm{a}}c\) bằng biệt thức thu gọn \(\Delta ‘ = {\left( {b’} \right)^2} – {\rm{a}}c\) với b = 2b’
1.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Xét dấu của tam thức bậc hai: \(f(x) = 2{x^2} + 3x – 2\)
Giải
\(\Delta = {3^2} – 4.2.( – 2) = 25 > 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = 2{x^2} + 3x – 2\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = – 2,{x_2} = \frac{1}{2}\) và hệ số \(a = 2 > 0\)
Ta có bảng xét dấu \(f(x)\) như sau:
Ví dụ 2: Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) ứng với đô thị hàm số y = f(x) được cho ở mỗi hình sau.
Giải
a) Từ đỗ thị Hình a ta có nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là x = 1. Bảng xét dấu tam thức f(x) là:
b) Từ đồ thị Hình b ta có tam thức bậc hai f(x) vô nghiệm. Bảng xét dấu tam thức f(x) là:
c) Từ đồ thị Hình c ta có tam thức bậc hai f(x) có hai ngghiệm là x1 = -2 và x2 = 1. Bảng xét dấu tam thức f(x) là:
Câu 1: Quan sát hình sau và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2\)
b) Quan sát hình sau và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = – {x^2} + 4x – 5\)
c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) với dấu của hệ số a trong trường hợp \(\Delta < 0\).
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2 > 0\).
b) Ta thấy đồ thị nằm dưới trục hoành nên \(f\left( x \right) = – {x^2} + 4x – 5 < 0\).
c) Ta thấy \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2\) có hệ số a=1>0 và \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2 > 0\)
\(f\left( x \right) = – {x^2} + 4x – 5\) có hệ số a=-1
Như thế, khi \(\Delta < 0\) thì tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) cùng dấu với hệ số a
Câu 2: Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = – 2{x^2} + 4x – 5\)
b) \(f\left( x \right) = – {x^2} + 6x – 9\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(a = – 2 < 0\), \(b = 4 = > b’ = 2\) và \(c = – 5\)
\(\Delta ‘ = {2^2} – \left( { – 2} \right).\left( { – 5} \right) = – 6 < 0\)
=>\(f\left( x \right)\) cùng dấu âm với hệ số a.
=> \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\)
b) Ta có: \(a = – 1,b = 6,c = – 9 = > b’ = 3\)
\(\Delta ‘ = {3^2} – \left( { – 1} \right).\left( { – 9} \right) = 0\)
\(\frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – b’}}{a} = 3\)
=> \(f\left( x \right)\) cùng dấu âm với hệ số a với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
=> \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
============
Thuộc chủ đề: Chương 3: Hàm số và đồ thị
Trả lời