Lý thuyết Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng – Toán 10 Cánh Diều

Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng – Toán 10 Cánh Diều

=======

1.1. Hàm số bậc hai

Ví dụ: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c lần lượt là hệ số của x², hệ số của x và hệ số tự do.

a) y = 8x² – 6x + 1;

b) y = 2x + 2021.

Giải

a) Hàm số y = 8x2 – 6x + 1 là hàm số bậc hai có hệ số của x² bằng 8, hệ số của x bằng – 6, hệ số tự do bằng 1.

b) Hàm số y = 2x + 2021 không phải là hàm số bậc hai.

1.2. Đồ thị hàm số bậc hai

* Chú ý:  Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.

+) Vẽ đồ thị

1) Xác định đỉnh \(S\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

2) Vẽ trục đối xứng d: \(x =  – \frac{b}{{2a}}\)

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).

Xác định \(B\left( {\frac{{ – b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)

4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

+) Bảng biến thiên

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = x² – 2x – 3.

Giải

Ta có: a = 1, b = -2, c = – 3, \(\Delta \) =(- 2)² – 4.1.(-3) = l6.

– Toạ độ đỉnh I(1 ; – 4).

– Trục đối xứng x = 1.

– Giao điểm của parabol với trục tung là A(0 ; – 3).

– Giao điểm của parabol với trục hoành là B( -1; 0) và C(3 ; 0).

– Điểm đối xứng với điểm A(0 ; – 3) qua trục đối xứng x = 1 là D(2; – 3).

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x2 – 2x – 3 như Hình sau.

1.3. Ứng dụng

+) Tầm bay cao và tầm bay xa

Chọn điểm \((0;{y_0})\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:

\(y = \frac{{ – g.{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha .x + {y_0}\)

Trong đó:

\(g\) là giá tốc trọng trường ( \( \approx 9,8\;m/{s^2}\))

\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)

\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu

\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất

Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

 – Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

– Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa.

+) Bài toán ứng dụng

Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.

Câu 1:  Cho hàm số \(y =  – {x^2} + 2x + 3\).

a) Tìm tọa độ 5 điểm thuộc đồ thị hàm số trên có hoành độ lần lượt là \( – 1,0,1,2,3\) rồi vẽ chúng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm trên. Đường cong đó cũng là đường parabol và là đồ thị của hàm số \(y =  – {x^2} + 2x + 3\) (Hình 12).

c) Cho biết tọa độ của điểm cao nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?

Hướng dẫn giải

a) x=-1 => y=0

x=0 => y=3

x=1=> y= 4

x=2 => y=3

x=3 => y=0

lần lượt là: A(-1;0), B(0;3), I(1;4), C(2;3), D(3;0)

b) Vẽ đồ thị:

c) Điểm cao nhất là điểm I(1;4)

Phương trình trục đối xứng là đường thẳng x=1.

Đồ thị hàm số đó quay bề lõm xuống dưới.

Câu 2:  Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:

a) \(y = {x^2} – 4x – 3\)

b) \(y = {x^2} + 2x + 1\)

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {2; – 7} \right)\)

Trục đối xứng là x=2

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-3)

Điểm đối xứng với điểm (0;-3) qua trục đối xứng x=2 là (4;-3)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

b) Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( { – 1;0} \right)\)

Trục đối xứng là x=-1

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;1)

Giao điểm của parabol với trục hoành là (-1;0)

Điểm đối xứng với điểm (0;1) qua trục đối xứng x=-1 là (-2;1)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

============

Thuộc chủ đề: Chương 3: Hàm số và đồ thị