Ký hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\sqrt{x}\cdot \mathrm{e}^{x^2}$, trục hoành, đường thẳng $x=1$

Ký hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\sqrt{x}\cdot \mathrm{e}^{x^2}$, trục hoành, đường thẳng $x=1$. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay $(H)$ quanh trục hoành. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 5,02

Lời giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành là nghiệm của phương trình $\sqrt{x}\cdot\mathrm{e}^{x^2}=0\Leftrightarrow x=0.$
Khi đó thể tích của khối tròn xoay được tạo thành là
$V=\pi \displaystyle \int\limits_0^1\left(\sqrt{x}\cdot \mathrm{e}^{x^2}\right)^2\mathrm{d}x=\pi \displaystyle \int\limits_0^1x\cdot\mathrm{e}^{2x^2}\mathrm{d}x=\pi\dfrac{1}{4}\displaystyle \int\limits_0^1 \mathrm{e}^{2{x^2}}d(2x^2)=\pi \dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{2{x^2}}\Big|_0^1=\dfrac{1}{4}\pi (\mathrm{e}^2-1).$
Vậy thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình $(H)$ quanh $Ox$ là $\dfrac{1}{4}\pi (\mathrm{e}^2-1)\approx5{,}02$.