Hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {x + 1} \) có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow 2tdt = dx\)

\(\begin{array}{l}
\smallint x\sqrt {x + 1} dx = \smallint \left( {2{t^4} – 2{t^2}} \right)dt = \frac{2}{5}{t^5} – \frac{2}{3}{t^3} + C\\
 = \frac{2}{5}{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^5} – \frac{2}{3}{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} + C
\end{array}\)

Vì F(0) = 2 nên C = \(\frac{{34}}{{15}}\). Thay x = 3 ta được F(3) = \(\frac{{146}}{{15}}\).