Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 4{\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right)^4} + \frac{2}{{{{\sin }^2}x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\)trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{{12}};\,\frac{\pi }{4}} \right]\). Khi đó tỉ số \(\frac{M}{m}\) thuộc khoảng nào sau đây?

Câu hỏi:

Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 4{\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right)^4} + \frac{2}{{{{\sin }^2}x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\)trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{{12}};\,\frac{\pi }{4}} \right]\). Khi đó tỉ số \(\frac{M}{m}\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {1;\,\frac{3}{2}} \right)\).

B. \(\left( {\frac{3}{2};\,2} \right)\).

C. \(\left( {2;\,\frac{5}{2}} \right)\).

D. \(\left( {\frac{5}{2};\,3} \right)\).

Lời giải

Chọn B

Ta có \(f\left( x \right) = 4{\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right)^4} + \frac{2}{{{{\sin }^2}x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\)\( = 4{\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} + \frac{8}{{{{\sin }^2}2x}}\).

Đặt \(t = \sin 2x\),\(x \in \left[ {\frac{\pi }{{12}};\,\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\,\frac{\pi }{2}} \right]\)\( \Rightarrow \frac{1}{2} \le t \le 1\).

Khi đó hàm số đã cho có dạng \(g\left( t \right) = 4{\left( {1 + t} \right)^2} + \frac{8}{{{t^2}}}\)với \(\frac{1}{2} \le t \le 1\).

Ta có \(g’\left( t \right) = 8\left( {1 + t} \right) – \frac{{16}}{{{t^3}}} = \frac{8}{{{t^3}}}\left( {t – 1} \right)\left( {{t^3} + 2{t^2} + 2t + 2} \right)\).

Suy ra \(g’\left( t \right) \le 0,\,\forall t \in \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]\).

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]} g\left( t \right) = g\left( 1 \right) = 24 = m\)và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]} g\left( t \right) = g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 41 = M\)

Khi đó tỉ số \(\frac{M}{m} = \frac{{41}}{{24}} \in \left( {\frac{3}{2};\,2} \right)\)_.

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số