Giải phương trình lượng giác $sin x + cos x = sqrt{2}sin 5x$ - Sách Toán - Học Toán

📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):

Giải phương trình lượng giác $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin 5x$. Tập nghiệm của phương trình là:

A. $x = \frac{\pi}{16} + k\frac{\pi}{2}$

B. $x = \frac{\pi}{16} + k\frac{\pi}{3}$

C. $x = \frac{\pi}{24} + k\frac{\pi}{3}$

D. $x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{4}$

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm

Sử dụng công thức cộng: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Khi đó phương trình trở thành $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin 5x$. Áp dụng công thức nghiệm phương trình $\sin u = \sin v \iff \left[ \begin{array}{l} u = v + k2\pi \\ u = \pi – v + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$.

💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)

Phương trình tương đương: $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin 5x \iff \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin 5x$.
TH1: $5x = x + \frac{\pi}{4} + k2\pi \iff 4x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \iff x = \frac{\pi}{16} + k\frac{\pi}{2}$.
TH2: $5x = \pi – (x + \frac{\pi}{4}) + k2\pi \iff 6x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \iff x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{3}$.
Đối chiếu các phương án, đáp án A chứa nghiệm thuộc dạng nghiệm của TH1.

👉 Chọn đáp án: A

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)

Bài tập 1: Giải phương trình $\cos x – \sin x = 1$

A. $x = k2\pi, x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$

B. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

C. $x = \pi + k2\pi$

D. $x = k\pi$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1

$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \iff \cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}$. Nghiệm là $x = k2\pi$ hoặc $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$.

👉 Chọn đáp án: A

Bài tập 2: Giải phương trình $\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}$

A. $x = \frac{\pi}{12} + k\frac{2\pi}{3}$

B. $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$

C. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$

D. $x = k\frac{\pi}{2}$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2

$\sqrt{2}\sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \iff \sin(3x + \frac{\pi}{4}) = 1 \iff 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \iff x = \frac{\pi}{12} + k\frac{2\pi}{3}$.

👉 Chọn đáp án: A

Bài tập 3: Phương trình $\sin 2x – \cos 2x = 1$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, x = k\pi$

B. $x = k\pi, x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$

C. $x = k2\pi, x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

D. $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3

$\sqrt{2}\sin(2x – \frac{\pi}{4}) = 1 \iff \sin(2x – \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}$. Nghiệm $2x – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ và $2x – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Kết hợp lại là $x = k\frac{\pi}{2}$ (có tập nghiệm tương đương B).

👉 Chọn đáp án: B

Bài tập 4: Số nghiệm của $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 1$ trên $(0; \pi)$ là:

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4

$2\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1 \iff \sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Nghiệm $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \implies x = k2\pi$ (loại vì không thuộc $(0;\pi)$) và $x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$ (thỏa mãn $x = 2\pi/3$). Vậy có 1 nghiệm.

👉 Chọn đáp án: A

Bài tập 5: Giải $\sqrt{3}\sin x – \cos x = \sqrt{2}$

A. $x = \frac{7\pi}{12} + k2\pi, x = \frac{11\pi}{12} + k2\pi$

B. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$

C. $x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi$

D. $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5

$2\sin(x – \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2} \iff \sin(x – \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ta có $x – \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \implies x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi$ hoặc $x – \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \implies x = \frac{11\pi}{12} + k2\pi$.

👉 Chọn đáp án: A (bao gồm nghiệm này)

📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)

Reader Interactions

Để lại phản hồi Huỷ trả lời