Giải bài tập Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ (Kết nối)

Giải bài tập Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ (Kết nối)
=============

Giải bài 4.6 trang 54 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng:

a)  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  – \overrightarrow {BD} \)

Phương pháp giải

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \)

Hướng dẫn giải

a)

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow 0 .\end{array}\)

b)

\(\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {BC}  – \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  – \overrightarrow {BD} \)

Giải bài 4.7 trang 54 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \). Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {CM} \).

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) dựa vào quy tắc hình bình hành, từ đó xác định điểm M.

Bước 2: Nhận xét về phương và chiều của hai vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {CM} \) hoặc tìm biểu thức liên hệ giữa hai vectơ đó.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \) (do ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \) Tứ giác ABMC là hình bình hành.

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CM} \). Mà \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {CM} \)

\( \Rightarrow C\)là trung điểm DM.

Nói cách khác: \(\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow 0 \) hay hai vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {CM} \)đối nhau.

Giải bài 4.8 trang 54 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} .\)

Phương pháp giải

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \)

Tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {MP} \)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a.\)

Dựng hình bình hành ABDC tâm O như hình vẽ.

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)

Vì tứ giác ABDC là hình bình hành, lại có \(AB = AC = BD = CD = a\) nên ABDC là hình thoi.

\( \Rightarrow AD = 2AO = 2.AB.\sin B = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AC} } \right| = a\) và \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 \).

Giải bài 4.9 trang 54 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Hình 4.19 biểu diễn hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động lên một vật, cho \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 3\;N,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\;N.\) Tính độ lớn của hợp lực \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \).

Phương pháp giải

Để tìm tổng của hai vectơ chung gốc \(\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \) ta dựng hình hình bành ABDC, khi đó:\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \)

Hướng dẫn giải

Dựng hình bình hành ABDC với hai cạnh là hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \)như hình vẽ

Ta có:

\(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)

Xét \(\Delta ABD\) ta có:

\(BD = AC = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 3\;,AB = \;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\;.\)

\(\widehat {ABD} = {180^o} – \widehat {BAC} = {180^o} – {120^o} = {60^o}\)

Theo định lí cosin ta có:

\(\begin{array}{l}A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} – 2.AB.BD.\cos \widehat {ABD}\\ \Leftrightarrow A{D^2} = {2^2} + {3^2} – 2.2.3.\cos {120^o}\\ \Leftrightarrow A{D^2} = 19\\ \Leftrightarrow AD = \sqrt {19} \end{array}\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt {19} \)

Giải bài 4.10 trang 54 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không khổi và có độ lớn bàng nhau. Hai tàu luôn dược giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yêu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước.

Phương pháp giải

Biểu diễn hướng đi của hai tàu.

Phân tích theo vectơ vận tốc riêng và vận tốc dòng nước.

Hướng dẫn giải

Ta đã biết vectơ dòng nước và hướng di chuyển (tức là vectơ vận tốc thực của hai tàu).

Ta cần xác định vectơ vận tốc của mỗi tàu, chỉ biết chúng có độ lớn bằng nhau.

Giả sử tàu 1 là tàu đi về phía hạ lưu còn tàu 2 là tàu đi về phía thượng nguồn.

Tàu 1 và tàu 2 bắt đầu di chuyển từ điểm A và A’ ở bờ bên này đến điểm E, E’ ở bờ bên kia.

Vecto vận tốc dòng nước tác động lên tàu là như nhau, biểu diễn bởi các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A’B’} \)

 

Gọi vectơ vận tốc riêng của hai tàu lần lượt là các vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {A’D’} \)

Vecto vận tốc thực của hai tàu là vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {A’C’} \).

Với tàu 1, để xác định các điểm C, D:

Từ B ta kẻ đường vuông góc với bờ, cắt AE tại một điểm, kí hiệu là C. Tiếp theo, dựng hình bình hành ABCD ta được điểm D.

 

Với tàu 2, để xác định các điểm C’, D’

Trên A’E’ lấy điểm C’ sao cho B’C’= AD. Dựng hình bình hành A’B’C’D’, ta được điểm D’.

Giải thích:

Tàu 1: Được dòng nước đẩy theo vectơ \(\overrightarrow {AB} \), và đi với vận tốc thực là vectơ \(\overrightarrow {AD} \), khi ấy hướng di chuyển là vectơ tổng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) chính là vectơ \(\overrightarrow {AC} \)

Tàu 2: Bị dòng nước đẩy theo vectơ \(\overrightarrow {A’B’} \), và đi với vận tốc thực là vectơ \(\overrightarrow {A’D’} \), khi ấy hướng di chuyển là vectơ tổng \(\overrightarrow {A’B’}  + \overrightarrow {A’D’} \) chính là vectơ \(\overrightarrow {A’C’} \)

Các vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {A’D’} \)có độ dài bằng nhau (cùng bằng B’C’).

Do hai tàu chuyển động theo hướng tạo với bờ cùng một góc nhọn nên quãng đường đường đi khi chạm bờ bên kia là như nhau. Hay AE = A’E’.

Tàu nào có độ lớn vận tốc thực lớn hơn thì tàu đó sang bờ bên kia trước.

Xét tam giác A’B’C’, theo định lí cosin ta có:

\(A’C{‘^2} = A’B{‘^2} + B’C{‘^2} – 2A’B’.B’C’.\cos B’\)

Mà \({0^o} < \widehat {B’} < \widehat {C’A’x} < {90^o} \Rightarrow \cos B’ > 0\)

\( \Rightarrow A’C{‘^2} < A’B{‘^2} + B’C{‘^2}\)

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại B nên: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = A{B^2} + A{D^2}\)

\( \Rightarrow A’C{‘^2} < A{C^2}\) hay \(A’C’ < AC\)

Vậy vận tốc của tàu 1 lớn hơn, nói cách khác tàu đi hướng xuống hạ lưu sẽ sang bờ bên kia trước.