Giải bài tập Bài 6: Ba đường conic (C7 – Toán 10 Cánh diều)
—————-
Giải bài tập Bài 1 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
\(a)\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} – \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
c) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
d) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
Phương pháp giải
Elip (E) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\)
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của elip là: c) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).
a) Không là PTCT vì a =b =8
b) Không là PTCT
d) Không là PTCT vì a =5 < b =8.
Giải bài tập Bài 2 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Tìm tọa độ các giao điểm của \(\left( E \right)\) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).
Phương pháp giải
Elip (E) giao với 2 trục tọa độ Ox, Oy tại bốn điểm \({A_1}\left( { – a;{\rm{ }}0} \right)\)\({A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)\({B_1}\left( {0; – {\rm{ }}b} \right)\)\({B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\)
Elip (E) có 2 tiêu điểm là \({F_1}\left( { – c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\) trong đó \({a^2} = {c^2} + {b^2}\)
Hướng dẫn giải
Từ phương trình chính tắc của (E) ta có: \(a = 7,b = 5 \Rightarrow c = 2\sqrt 6 {\rm{ }}(do{\rm{ }}{{\rm{c}}^2} + {b^2} = {a^2})\)
Vậy ta có tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy là: \({A_1}\left( { – 7;{\rm{ }}0} \right)\)\({A_2}\left( {7;{\rm{ }}0} \right)\)\({B_1}\left( {0; – {\rm{ 5}}} \right)\)\({B_2}\left( {0;{\rm{ 5}}} \right)\)
Hai tiêu điểm của (E) có tọa độ là: \({F_1}\left( { – 2\sqrt 6 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 6 ;0} \right)\)
Giải bài tập Bài 3 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Viết phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\), biết tọa độ hai giao điểm của \(\left( E \right)\) với Ox và Oy lần lượt là \({A_1}\left( { – 5;0} \right)\) và \({B_2}\left( {0;\sqrt {10} } \right)\)
Phương pháp giải
Elip (E) giao với 2 trục tọa độ Ox, Oy tại bốn điểm \({A_1}\left( { – a;{\rm{ }}0} \right)\)\({A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)\({B_1}\left( {0; – {\rm{ }}b} \right)\)\({B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\)
Hướng dẫn giải
Do (E) giao với Ox tại \({A_1}\left( { – 5;0} \right)\) nên ta có: \(a = 5\)
Do (E) giao với Oy tại \({B_2}\left( {0;\sqrt {10} } \right)\) nên ta có: \(b = \sqrt {10} \)
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{10}} = 1\)
Giải bài tập Bài 4 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có \({A_1}{A_2}\) = 768 800 km và \({B_1}{B_2}{\rm{ }} = {\rm{ }}767{\rm{ }}619{\rm{ }}km\) (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Phương pháp giải
Elip (E) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\), trong đó: \({A_1}{A_2} = 2a,{B_1}{B_2} = 2b\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\({A_1}{A_2} = 2a \Rightarrow 2a = 768800 \Rightarrow a = 384400\) và \({B_1}{B_2} = 2b \Rightarrow 767619 = 2b \Rightarrow b = 383809,5\)
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{{384400}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{383809,5}} = 1\)
Giải bài tập Bài 5 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol ?
a) \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) b) \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) c) \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) d) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Phương pháp giải
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \({a^2} = {c^2} – {b^2}\)
Hướng dẫn giải
Những phương trình là phương trình chính tắc của (H) là: b), c), d).
Giải bài tập Bài 6 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{36}} – \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Phương pháp giải
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \({a^2} = {c^2} – {b^2}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(a = 3,b = 4 \Rightarrow c = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\)
Vậy tiêu điểm của (E) là: \({F_1}\left( { – 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\)
b) Ta có: \(a = 6;b = 5 \Rightarrow c = \sqrt {{6^2} + {5^2}} = \sqrt {61} \)
Vậy tiêu điểm của (E) là: \({F_1}\left( { – \sqrt {61} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {61} ;0} \right)\)
Giải bài tập Bài 7 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Viết phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\), biết \(N\left( {\sqrt {10} ;2} \right)\) nằm trên \(\left( H \right)\) và hoành độ một giao điểm của \(\left( H \right)\) với trục Ox bằng 3.
Phương pháp giải
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \({a^2} = {c^2} – {b^2}\)
Hypebol (H) giao với trục Ox tại hai tiêu điểm.
Hướng dẫn giải
Do hypebol (H) giao với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên ta có: \({F_1}\left( {3;0} \right) \Rightarrow c = 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 9\left( 1 \right)\)
Do \(N\left( {\sqrt {10} ;2} \right) \in \left( H \right)\) nên ta có: \(\frac{{10}}{{{a^2}}} – \frac{4}{{{b^2}}} = 1\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có: \(a = \sqrt 5 ,b = 2\)
Vậy phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{5} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
Giải bài tập Bài 8 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
a) \({y^2} = – 2x\)
b) \({y^2} = 2x\)
c) \({x^2} = – 2y\)
d) \({y^2} = \sqrt 5 x\)
Phương pháp giải
Phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\)
Hướng dẫn giải
Những phương trình chính tắc của parabol là: b), d)
Giải bài tập Bài 9 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:
a) \({y^2} = \frac{{5x}}{2}\)
b) \({y^2} = 2\sqrt 2 x\)
Phương pháp giải
Phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\), trong đó tiêu điểm là \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và phương trình đường chuẩn là: \(x + \frac{p}{2} = 0\).
Hướng dẫn giải
a) Tiêu điểm của parabol là: \(F\left( {\frac{5}{4};0} \right)\)
Phương trình đường chuẩn là: \(x + \frac{5}{4} = 0\)
b) Tiêu điểm của parabol là: \(F\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)
Phương trình đường chuẩn là: \(x + \sqrt 2 = 0\)
Giải bài tập Bài 10 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm \(F\left( {6;0} \right)\)
Phương pháp giải
Phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\), trong đó tiêu điểm là \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và phương trình đường chuẩn là: \(x + \frac{p}{2} = 0\).
Hướng dẫn giải
Do parabol có tiêu điểm là \(F\left( {6;0} \right)\) nên ta có \(\frac{p}{2} = 6 \Leftrightarrow p = 12\)
Vậy phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 24x\)
Giải bài tập Bài 11 trang 102 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Phương pháp giải
Phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\), trong đó tiêu điểm là \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và phương trình đường chuẩn là: \(x + \frac{p}{2} = 0\).
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\)
Vì \(AB = 40cm\) và \(h = 30cm\) nên \(A\left( {30;20} \right)\)
Do \(A\left( {30;20} \right)\) thuộc parabol nên ta có: \({20^2} = 2p.30 \Rightarrow p = \frac{{20}}{3}\)
Vậy parabol có phương trình chính tắc là: \({y^2} = \frac{{40}}{3}x\)
Để lại một bình luận