Giải bài tập Bài 1: Tọa độ của vectơ (C7 – Toán 10 Cánh diều)
—————–
Giải bài tập Bài 1 trang 65 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Tìm tọa độ của các vecto trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vecto đó qua hai vecto \(\overrightarrow i , \overrightarrow j \)
Phương pháp giải
Vẽ các vecto \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {OD} = \overrightarrow d \). Tọa độ của 4 điểm A, B, C, D là tọa độ của 4 vecto.
Để biểu diễn các vecto qua vecto đơn vị: \(\overrightarrow u {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \)
Hướng dẫn giải
a) Vẽ các vecto \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {OD} = \overrightarrow d \)
Dựa vào hình vẽ, ta thấy tọa độ của 4 điểm A, B, C, D là:
\(A\left( { – 5; – 3} \right),B\left( {3; – 4} \right),C\left( { – 1;3} \right),D\left( {2;5} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} = \left( { – 5; – 3} \right),\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} = \left( {3; – 4} \right),\overrightarrow c = \overrightarrow {OC} = \left( { – 1;3} \right),\overrightarrow d = \overrightarrow {OD} = \left( {2;5} \right)\)
b) Vì \(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} = \left( { – 5; – 3} \right)\)nên \(\overrightarrow a = \left( { – 5} \right)\overrightarrow i + \left( { – 3} \right)\overrightarrow j = – 5\overrightarrow i – 3\overrightarrow j \)
Vì \(\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} = \left( {3; – 4} \right)\) nên \(\overrightarrow b = 3\overrightarrow i + \left( { – 4} \right)\overrightarrow j = 3\overrightarrow i – 4\overrightarrow j \)
Vì \(\overrightarrow c = \overrightarrow {OC} = \left( { – 1;3} \right)\) nên \(\overrightarrow c = \left( { – 1} \right)\overrightarrow i + \left( 3 \right)\overrightarrow j = – \overrightarrow i + 3\overrightarrow j \)
Vì \(\overrightarrow d = \overrightarrow {OD} = \left( {2;5} \right)\) nên \(\overrightarrow d = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow j \)
Giải bài tập Bài 2 trang 65 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Tìm tọa độ của các vecto sau:
a) \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i \) b) \(\overrightarrow b = – \overrightarrow j \)
c) \(\overrightarrow c = \overrightarrow i – 4\overrightarrow j \) d) \(\overrightarrow d = 0,5\overrightarrow i + \sqrt 6 \overrightarrow j \)
Phương pháp giải
Sử dụng: \(\overrightarrow u {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \)
Hướng dẫn giải
a) Vì \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i \)nên \(\overrightarrow a = \left( {3;0} \right)\)
b) Vì \(\overrightarrow b = – \overrightarrow j \)nên \(\overrightarrow b = \left( {0; – 1} \right)\)
c) Vì \(\overrightarrow c = \overrightarrow i – 4\overrightarrow j \)nên \(\overrightarrow c = \left( {1; – 4} \right)\)
d) Vì \(\overrightarrow d = 0,5\overrightarrow i + \sqrt 6 \overrightarrow j \)nên \(\overrightarrow d = \left( {0,5;\sqrt 6 } \right)\)
Giải bài tập Bài 3 trang 65 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Tìm các cặp số thực a và b sao cho mỗi cặp vecto sau bằng nhau:
a) \(\overrightarrow u = \left( {2a – 1; – 3} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {3;4b + 1} \right)\)
b) \(\overrightarrow x = \left( {a + b; – 2a + 3b} \right)\) và \(\overrightarrow y = \left( {2a – 3;4b} \right)\)
Phương pháp giải
Với \(\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) , ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
a) Để \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a – 1 = 3\\ – 3 = 4b + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 1\end{array} \right.\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 1\end{array} \right.\) thì \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \)
b) \(\overrightarrow x = \overrightarrow y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2a – 3\\ – 2a + 3b = 4b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 2\end{array} \right.\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 2\end{array} \right.\) thì \(\overrightarrow x = \overrightarrow y \)
Giải bài tập Bài 4 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2;3), B(-1; 1), C(3;- 1).
a) Tìm toạ độ điểm M sao cho\(\overrightarrow {AM{\rm{ }}} = {\rm{ }}\overrightarrow {BC} \) .
b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh\(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {NM} \) .
Phương pháp giải
Với \(\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) , ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(M\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {a – 2;b – 3} \right)\)
Tọa độ vecto \(\overrightarrow {BC} = \left( {4; – 2} \right)\)
Để \(\overrightarrow {AM{\rm{ }}} = {\rm{ }}\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a – 2 = 4\\b – 3 = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 1\end{array} \right.\)
Vậy để \(\overrightarrow {AM{\rm{ }}} = {\rm{ }}\overrightarrow {BC} \) thì tọa độ điểm M là:\(M\left( {6;1} \right)\)
b) Gọi \(N\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {NC} = \left( {3 – x, – 1 – y} \right)\)và \(\overrightarrow {AC} = \left( {x – 2,y – 3} \right)\)
Do N là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {NC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 2 = 3 – x\\y – 3 = – 1 – y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = 1\end{array} \right.\) . Vậy \(N\left( {\frac{5}{2},1} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = \left( { – \frac{7}{2};0} \right)\) và \(\overrightarrow {NM} = \left( {\frac{{ – 7}}{2};0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {NM} \)
Giải bài tập Bài 5 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(-1; 3).
a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O.
b) Tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox.
c) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy.
Phương pháp giải
Vẽ hình rồi dựa vào hình vẽ xác định các điểm
Hướng dẫn giải
a) Dựa vào hình vẽ ta thấy \(A\left( {1; – 3} \right)\)
b) Dựa vào hình vẽ ta thấy \(B\left( { – 1; – 3} \right)\)
c) Dựa vào hình vẽ ta thấy \(C\left( {1;3} \right)\)
Giải bài tập Bài 6 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(- 3 ; 1), B(-1; 3), I(4;2). Tìm toạ độ của hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành nhận I làm tâm đối xứng.
Phương pháp giải
Tâm đối xứng của hình bình hành là trung điểm hai đường chéo.
Với \(\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) , ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Gọi \(C\left( {a;b} \right),D\left( {m,n} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IC} = \left( {a – 4,b – 2} \right)\) và \(\overrightarrow {ID} = \left( {m – 4,n – 2} \right)\)
Do I là tâm của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm AC và BD.
Vậy ta có:\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IC} \)và \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {ID} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {7;1} \right)\) và \(\overrightarrow {BI} = \left( {5; – 1} \right)\)
Do \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 = a – 4\\1 = b – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 3\end{array} \right.\) .Vậy \(C\left( {11;3} \right)\)
Do \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {ID} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = m – 4\\ – 1 = n – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 9\\n = 1\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {9;1} \right)\)
Giải bài tập Bài 7 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC. Các điểm M(1;- 2), N(4;- 1) và P(6 ; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm toạ độ của các điểm A, B, C.
Phương pháp giải
Đường trung bình song song và bằng một phần hai cạnh đáy tương ứng
Với \(\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) , ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Theo tích chất đường trung bình trong một tam giác ta có: \(\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {NA} \)
Gọi \(A\left( {{a_1},{a_2}} \right),B\left( {{b_1};{b_2}} \right),C\left( {{c_1};{c_2}} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {PN} = \left( {2;3} \right)\),\(\overrightarrow {BM} = \left( {1 – {b_1}; – 2 – {b_2}} \right)\), \(\overrightarrow {MC} = \left( {{c_1} – 1;{c_2} + 2} \right)\), \(\overrightarrow {MP} = \left( {5;4} \right)\), \(\overrightarrow {NA} = \left( {{a_1} – 4;{a_2} + 1} \right)\)
Có \(\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 1 – {b_1}\\3 = – 2 – {b_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b_1} = – 1\\{b_2} = – 5\end{array} \right.\) .Vậy \(B\left( { – 1; – 5} \right)\)
Có \(\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = {c_1} – 1\\3 = {c_2} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 3\\{c_2} = 1\end{array} \right.\) .Vậy \(C\left( {3;1} \right)\)
Có \(\overrightarrow {NA} = \overrightarrow {MP} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = {a_1} – 4\\4 = {a_2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 9\\{a_2} = 3\end{array} \right.\) .Vậy \(A\left( {9;3} \right)\)
Trả lời