Giải bài tập Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (C7 – Toán 10 Cánh diều)
=================
Giải bài tập Bài 1 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau
a) \({d_1}:3x + 2y–5 = 0\) và \({d_2}:x – 4y + 1 = 0\) ;
b) \({d_3}:x – 2y + 3 = 0\) và \({d_4}: – {\rm{ }}2x + 4y + 10 = 0\) ;
c) \({d_5}:4x + 2y – 3 = 0\) và \({d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{1}{2} + t\\y = \frac{5}{2} – 2t\end{array} \right.\)
Phương pháp giải
Giải hệ phương trình giao điểm:
Hệ phương trình có nghiệm \( \Rightarrow \) cắt nhau
Hệ phương trình vô nghiệm \( \Rightarrow \) song song
Hệ phương trình vô số nghiệm \( \Rightarrow \) trùng nhau
Hướng dẫn giải
a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y – 5 = 0\\x – 4y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{7}\\y = \frac{4}{7}\end{array} \right.\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên 2 đường thẳng cắt nhau.
b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_3},{d_4}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y + 3 = 0\\ – 2x + 4y + 10 = 0\end{array} \right.\) .
Hệ phương trình vô nghiệm.nên 2 đường thẳng song song với nhau
c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_5},{d_6}\) tương ứng với t thỏa mãn phương trình:
\(4\left( { – \frac{1}{2} + t} \right) + 2\left( {\frac{5}{2} – 2t} \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow 0t = 0\) .
Phương trình này có nghiệm với mọi t. Do đó \({d_5} \equiv {d_6}\).
Giải bài tập Bài 2 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x–y + 5 = 0\) và\({d_2}:x – 3y + 3 = 0\).
Phương pháp giải
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{n_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.\)
Hướng dẫn giải
Vecto pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; – 1} \right)\)
Vecto pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\) là: \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; – 3} \right)\)
Ta có: \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { – 1} \right).\left( { – 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = {45^o}\)
Giải bài tập Bài 3 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
a)\(A\left( {1; – 2} \right){\rm{ }}v\`a {\rm{ }}{\Delta _1}:{\rm{ }}3x – y + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ;
b) B(-3; 2) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 2 + t\\y = 1 – 2t\end{array} \right.\)
Phương pháp giải
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({\rm{a}}x + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) và điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\) được tính bởi công thức: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Hướng dẫn giải
a) Khoảng cách từ điểm A đến \({\Delta _1}\) là: \(d\left( {A,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {3.1 – 1.\left( { – 2} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\)
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng \({\Delta _2}\)là: \(2x + y + 3 = 0\)
Khoảng cách từ điểm B đến \({\Delta _2}\) là: \(d\left( {A,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { – 3} \right) + 1.2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
Giải bài tập Bài 4 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?
\({\Delta _1}:mx – y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x – y + 3 = 0\).
Phương pháp giải
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\),\({\Delta _2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khỉ \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau
Hướng dẫn giải
Vecto pháp tuyến của là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {m; – 1} \right)\)
Vecto pháp tuyến của là: \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; – 1} \right)\)
Vậy ai đường thẳng \({\Delta _1}\),\({\Delta _2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khỉ \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau tức là \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ – 1}}{2}\)
Giải bài tập Bài 5 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Cho ba điểm A(2;- 1), B(1 ; 2) và C(4;- 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.
Phương pháp giải
\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\(\cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right|\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {2; – 1} \right)\)
Vậy \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{ – 1.2 + 3.\left( { – 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {BAC} = {135^o}\)
Vậy\(\cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| { – 1.2 + 3.\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {BAC} = {45^o}\)
Giải bài tập Bài 6 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Cho ba điểm A(2;4), B(-1; 2) và C(3;-1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.
Phương pháp giải
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({\rm{a}}x + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) và điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\) được tính bởi công thức: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Hướng dẫn giải
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua B và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\)
Vậy phương trình \(\Delta \) là: \(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{a}}x + by + \left( {a – 2b} \right) = 0\)
Ta có: \(d\left( {A,\Delta } \right) = d\left( {C,\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {4a – 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a + 2b = 4a – 3b\\3a + 2b = – 4a + 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 5b\left( 1 \right)\\7a = b\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {5;1} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \)là: \(5x + y + 3 = 0\)
Từ (2) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {1;7} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \)là: \(x + 7y – 13 = 0\)
Giải bài tập Bài 7 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (\(t \ge 0\)), vị trí
của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – 35t\\y = – 4 + 25t\end{array} \right.\) ,vị trí của tàu B có toạ độ là (4 – 30t; 3 – 40t).
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải
a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{u_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.\)
b) Bước 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({\rm{a}}x + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) và điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\) được tính bởi công thức: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Bước 2: Đánh giá theo tham số t
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({\rm{a}}x + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) và điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\) được tính bởi công thức: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Hướng dẫn giải
a) Tàu A di chuyển theo hướng vecto \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { – 35;25} \right)\)
Tàu B di chuyển theo hướng vecto \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { – 30; – 40} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu, ta có:
\(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { – 35} \right).\left( { – 30} \right) + 25.\left( { – 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 35} \right)}^2} + {{25}^2}} .\sqrt {{{\left( { – 30} \right)}^2} + {{\left( { – 40} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt {74} }}.\)
b) Sau t giờ, vị trí của tàu A là điểm M có tọa độ là: \(M\left( {3 – 35t; – 4 + 25t} \right)\)
Sau t giờ, vị trí của tàu B là điểm N có tọa độ là: \(N\left( {4 – 30t;3 – 40t} \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \sqrt {{{\left( {1 + 5t} \right)}^2} + {{\left( {7 – 65t} \right)}^2}} = \sqrt {4250{t^2} – 900t + 50} = \sqrt {4250{{\left( {t – \frac{9}{{85}}} \right)}^2} + \frac{{40}}{{17}}} \ge \sqrt {\frac{{40}}{{17}}} \approx 1,53\left( {km} \right)\)
Suy ra MN nhỏ nhất xấp xỉ 1,53km khi \(t = \frac{9}{{85}}\)
Vậy sau \(\frac{9}{{85}}\) giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau 1,53km
c) Vị trí ban đầu của tàu A tại \({M_o}\) ứng với \(t = 0\) , khi đó \({M_o}\left( {3; – 4} \right)\)
Tàu B di chuyển theo đường thẳng có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {40; – 30} \right)\) và đi qua điểm \(K\left( {4;3} \right)\) Phương trình tổng quát của là: \(40\left( {x – 4} \right) – 30\left( {y – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x – 3y – 7 = 0\) \(\Delta \)
Ta có: \(d\left( {{M_o},\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.3 – 3.\left( { – 4} \right) – 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{5} = 3,4\left( {km} \right)\)
Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu còn tàu B di chuyển thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4km.
Trả lời