Giải bài tập Bài 5: Phương trình đường tròn (C7 – Toán 10 Cánh diều)
——————-
Giải bài tập Bài 1 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?
a) \({x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 7 = 0\)
b) \({x^2} + {y^2} – 8x + 2y + 20 = 0\)
Phương pháp giải
Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{a}}x – 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\)
Hướng dẫn giải
a) Do \({1^2} + {\left( { – 1} \right)^2} > – 7\) nên \({x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 7 = 0\) là phương trình đường tròn
b) Vì \({4^2} + {\left( { – 1} \right)^2} < 20\) nên \({x^2} + {y^2} – 8x + 2y + 20 = 0\) không là phương trình đường tròn
Giải bài tập Bài 2 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Tìm tâm và bán kính của đường tròn trong môi trường hợp sau:
a) Đường tròn có phương trình\({(x + 1)^2} + {(y – 5)^2} = 9\) ;
b) Đường tròn có phương trình\({x^2} + {y^2}-6x – 2y-{\rm{1}}5 = 0\) .
Phương pháp giải
a) Phương trình \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\) có tâm là \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R
b) Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{a}}x – 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn \({(x + 1)^2} + {(y – 5)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { – 1;5} \right)\) và \(R = 3\)
b) Đường tròn \({x^2} + {y^2}-6x – 2y-{\rm{1}}5 = 0\) có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và \(R = \sqrt {{3^2} + {1^2} + 15} = 5\)
Giải bài tập Bài 3 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường tròn có tâm I(- 3 ; 4) bán kính R = 9;
b) Đường tròn có tâm I(5 ;-2) và đi qua điểm M(4;- 1);
c) Đường tròn có tâm I(1;- 1) và có một tiếp tuyến là A: 5x- 12y – 1 = 0;
d) Đường tròn đường kính AB với A(3;-4) và B(-1; 6);
e) Đường tròn đi qua ba điểm A(1;1), B(3; 1), C(0; 4).
Phương pháp giải
Đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R có phương trình là: \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 81\)
b) Bán kính đường tròn là: \(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 – 5} \right)}^2} + {{\left( { – 1 + 2} \right)}^2}} = \sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\)
c) Bán kính đường tròn là: \(R = \frac{{\left| {5.1 – 12.\left( { – 1} \right) – 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { – 12} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{13}}\)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{16}}{{13}}} \right)^2}\)
d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: \(I\left( {1;1} \right)\)
Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 4 – 1} \right)}^2}} = \sqrt {29} \)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 29\)
e) Giả sử tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)
Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 – a} \right)^2} + {\left( {1 – b} \right)^2} = {\left( {3 – a} \right)^2} + {\left( {1 – b} \right)^2}\\{\left( {3 – a} \right)^2} + {\left( {1 – b} \right)^2} = {\left( {0 – a} \right)^2} + {\left( {4 – b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\) b
Vậy \(I\left( {2;3} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 5\)
Giải bài tập Bài 4 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc đường tròn \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 169\).
Phương pháp giải
Cho điểm (\({M_o}\left( {{x_o};{\rm{ }}{y_o}} \right)\)) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R. Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến tại điểm \({M_o}\left( {{x_o};{\rm{ }}{y_o}} \right)\) thuộc đường tròn. Khi đó phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) là:
\(\left( {{x_o} – a} \right)\left( {x – {x_o}} \right) + \left( {{y_o} – b} \right)\left( {y – {y_o}} \right) = 0\)
Hướng dẫn giải
Tọa độ tiếp điểm là: \({M_1}\left( {3;5} \right),{M_2}\left( {3; – 12} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua \({M_1}\) là: \( – 5\left( {x – 3} \right) – 12\left( {y – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow – 5x – 12y + 75 = 0\)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua \({M_2}\) là:
\( – 5\left( {x – 3} \right) + 19(y + 12) = 0 \Leftrightarrow – 5x + 19y + 243 = 0\)
Giải bài tập Bài 5 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Tìm m sao cho đường thẳng 3x + 4y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y-2} \right)^2} = 4\).
Phương pháp giải
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({\rm{a}}x + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) và điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\) được tính bởi công thức: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Hướng dẫn giải
Để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì \(d\left( {I,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left( { – 1} \right) + 4.2 + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = – 15\end{array} \right.\)
Giải bài tập Bài 6 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Hình 46 mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí 1 có toạ độ (- 2 ; 1) trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).
a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km.
b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ (-1;3) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Giải thích.
c) Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (-3;4) di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải
Đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R có phương trình là: \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 9\)
b) Khoảng cách từ tâm I đến A là: \(IA = \sqrt {{{\left( { – 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 – 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)
Do \(IA < 3\) nên điểm A nằm trong đường tròn ranh giới. Vậy nên người A có thể dịch vụ của trạm.
c) Khoảng cách từ tâm I đến B là: \(IB = \sqrt {{{\left( { – 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 – 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \)
Khoảng cách ngắn nhất theo đường chim bay để 1 người ở B di chuyển đến vùng phủ sóng là:
\(IB – R = \sqrt {10} – 3\left( {km} \right)\)
Giải bài tập Bài 7 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Ném đĩa là một môn thể thao thi đấu trong Thế vận hội Olympic mùa hè. Khi thực hiện cú ném, vận động viên thường quay lưng lại với hướng ném, sau đó xoay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi của đường tròn để lấy đà rồi thả tay ra khỏi đĩa. Giả sử đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm \(I\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\) bán kính 0,8 trong mặt phẳng toạ độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét). Đến điểm\(M\left( {\frac{{\sqrt {39} }}{2};2} \right)\), đĩa được ném đi (Hình 47). Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình như thế nào?
Phương pháp giải
Cho điểm (\({M_o}\left( {{x_o};{\rm{ }}{y_o}} \right)\)) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R. Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến tại điểm \({M_o}\left( {{x_o};{\rm{ }}{y_o}} \right)\) thuộc đường tròn. Khi đó phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) là:
\(\left( {{x_o} – a} \right)\left( {x – {x_o}} \right) + \left( {{y_o} – b} \right)\left( {y – {y_o}} \right) = 0\)
Hướng dẫn giải
Sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại điểm M.
Vậy quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa nằm trên đường thẳng có phương trình là:
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{\sqrt {39} }}{{10}} – 0} \right)\left( {x – \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}} \right) + \left( {2 – \frac{3}{2}} \right)\left( {y – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}\left( {x – \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {y – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {39} x + 5y – 13,9 = 0\end{array}\)
Để lại một bình luận