Giải bài tập Bài 4 Cấp số nhân – SGK Đại số 11 CB
Câu 1: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chứng minh các dãy số \(\left ( \frac{3}{5} . 2^n \right )\), \(\left (\frac{5}{2^{n}} \right )\), \(\left ( \left ( -\frac{1}{2} \right )^{n} \right )\) là các cấp số nhân.
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh dãy $(u_{n})$là cấp số nhân thì ta chứng minh $u_{n+1}=u_{n}.q$
Với q là công bội của cấp số nhân.
Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\)
Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}= ( \frac{3}{5} . 2^{n+1}) : (\frac{3}{5}. 2^n) =( \frac{3}{5} . 2^{n}.2) : (\frac{3}{5}. 2^n)= 2\).
\(\Rightarrow u_{n+1}= u_n.2; n\in {\mathbb N}^*\)
\(\Rightarrow u_{1}=\frac{3}{5}.2^{1}=\frac{6}{5}\)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \frac{6}{5}\), \(q = 2\)
Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)
Ta có \(u_{n+1}= \frac{5}{2^{n+1}}=\frac{5}{2^{n}}.\frac{1}{2}\)=\( u_n.\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u_{1}=\frac{5}{2^{1}}=\frac{5}{2}\)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \frac{5}{2}\),\(q= \frac{1}{2}\)
Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)
Ta có \(u_{n+1}= (-\frac{1}{2})^{n+1}=(-\frac{1}{2})^{n}.(-\frac{1}{2})=u_{n}.\frac{-1}{2}\).
\(\Rightarrow u_{1}=\left ( -\frac{1}{2} \right )^{1}=\frac{-1}{2}\)
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \frac{-1}{2}\),\(q= \frac{-1}{2}\).
==================
Câu 2: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho cấp số nhân với công bội \(q\).
a) Biết \(u_1= 2, u_6= 486\). Tìm \(q\)
b) Biết \(q = \frac{2}{3}\), \(u_4= \frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\)
c) Biết \(u_1= 3, q = -2\). Hỏi số \(192\) là số hạng thứ mấy?
Hướng dẫn giải:
Trong bài này ta áp dụng công thức tính số hạng tổng quát \(u_n= u_1.q^{n-1}\) biết hai đại lượng, ta sẽ tìm đại lượng còn lại:
a) Biết \(u_1= 2, u_6= 486\)
Theo định lí 2 $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$
Ta có: $u_{6}=u_{1}.q^{6-1}=u_{1}.q^{5}$
$\Rightarrow q^{5}=u_{6}\div u_{1}=486 \div 2=243$
\(\Rightarrow q = 3\).
b) Biết \(q = \frac{2}{3}\), \(u_4= \frac{8}{21}\)
Theo định lí 2 $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$
Ta có: $u_{4}=u_{1}.q^{4-1}=u_{1}.q^{3}$
$\Rightarrow u_{1}=\frac{u_{4}}{q^{3}}=\frac{\frac{8}{21}}{\left ( \frac{2}{3} \right )^3}$
\(\Rightarrow u_1= \frac{9}{7}\)
c)Biết \(u_1= 3, q = -2\)
Theo định lí 2 $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$
Ta có: $u_{n}=192\Rightarrow 3.(-2)^{n-1}=192\Rightarrow 2^{n-1}=64=2^{6}$
$\Rightarrow n-1=6\Rightarrow n=7$
Đáp số: \(n =7\).
================
Câu 3: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm các số hạng của cấp số nhân \((u_n)\) có năm số hạng, biết:
a) \(u_3= 3\) và \(u_5= 27\);
b) \(u_4– u_2= 25\) và \(u_3– u_1= 50\)
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:
\(u_3= 3 = u_1.q^2\)
\(u_5= 27 = u_1.q^4\)
Vì \(27 = ({u_1}{q^2}).{q^2} = 3.{q^2}\Rightarrow {q^2} = 9\Rightarrow q = \pm 3\)
Thay \(q^2= 9\) vào công thức chứa \(u_3\)
Ta có \(u_1=\frac{3}{q^{2}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\).
Cấp số nhân $(u_{n})$công bội q có thể viết dưới dạng:
$u_{1}, u_{1}q^{2}; u_{1}q^{3}; …; u_{1}q^{n-1}; ……$. Ta có:
Nếu \(q = 3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27\).
Nếu \(q = -3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, -1, 3, -9, 27\).
b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:
$\left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=25 & \\ u_{3}-u_{1}=50 & \end{matrix}\right.$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 (2) \end{matrix}\right.\)
Nhân cả hai vế của phương trình (2) với q ta được:
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{3}-u_{1}q=50q (2) \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2}-u_{1}=50\\ 25-50q=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-u_{1}=50\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}=-\frac{200}{3}\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)
Ta có 5 số hạng của cấp số nhân \( \frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}\).
================
Câu 4: trang 104 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là \(31\) và tổng của năm số hạng sau là \(62\).
Hướng dẫn giải:
Giả sử có cấp số nhân: \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}\)
Theo giả thiết ta có:
$\left\{\begin{matrix}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31 & \\ {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62 & \end{matrix}\right.$
Nhân hai vế của (1) với \(q\), ta được:
\({u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q ={u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6}\)
\(\Rightarrow 62= 31q\)
\(\Rightarrow q = 2\).
Ta có \(S_5= 31 = {{{u_1}(1 – {2^5})} \over {1 – 2}}\)
\(\Rightarrow u_1= 1\).
Vậy ta có cấp số nhân \(1, 2, 4, 8, 16, 32\).
================
Câu 5: trang 104 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là \(1,4\% \). Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là \(1,8\) triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là x.
Vì tỉ lệ tăng dân số là \(1,4\%\) nên sau một năm, số dân tăng thêm là $1,4%.x$.
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là
\(x + 1,4\%.x = 101,4\%.x =\frac{1014}{1000}.x\).
Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.
\(x; \frac{1014}{1000}.x; (\frac{1014}{1000})^{2}.x\), …
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, với số hạng đầu \(x = 1,8\)triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là:
\((\frac{1014}{1000})^{5}.1,8 ≈ 1,9\) (triệu người)
và sau 10 năm số dân sẽ là
\( (\frac{101,4}{100})^{10}.1,8 ≈ 2,1\) (triệu người).
================
Câu 6: trang 104 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông$C_{2}$. Từ hình vuông $C_{2}$lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông khác. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông. Gọi \(a_n\) là độ dài cạnh của hình vuông \(C_n\). Chứng minh dãy số \((a_n)\) là một cấp số nhân.
Giải bài tập Chương 3 Bài 4 Cấp số nhân
Hướng dẫn giải:
Xét dãy số \((a_n)\)
Ta có cạnh của hình vuông $C_{1}$là 4 nên ta có \(a_1= 4\).
Cạnh hình vuông \(C_2\)có độ dài cạnh là \(a_2=\sqrt{1^{2}+3^{2}}\).
Giả sử hình vuông cạnh \(C_n\) có độ dài cạnh là \(a_n\).
Ta sẽ tính cạnh \(a_{n+1}\) của hình vuông \(C_{n+1}\)
Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:
\({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{1 \over 4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {{3 \over 4}{a_n}} \right)}^2}} = {a_n}.{{\sqrt {10} } \over 4}\forall n \in {\mathbb N}^*\)
Vậy dãy số \((a_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu là \(a_1= 4\) và công bội \(q = {{\sqrt {10} } \over 4}\).
====================
Bài 4 Cấp số nhân
Trả lời