Giải bài tập Bài 4 Cấp số nhân – SGK Đại số 11 CB - Sách Toán

adsense

Giải bài tập Bài 4 Cấp số nhân – SGK Đại số 11 CB
Câu 1: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11

Chứng minh các dãy số $\left ( \frac{3}{5} . 2^n \right )$, $\left (\frac{5}{2^{n}} \right )$, $\left ( \left ( -\frac{1}{2} \right )^{n} \right )$ là các cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:
Để chứng minh dãy $(u_{n})$là cấp số nhân thì ta chứng minh $u_{n+1}=u_{n}.q$

Với q là công bội của cấp số nhân.

Với mọi $∀n\in {\mathbb N}^*$
Ta có $ \frac{u_{n+1}}{u_{n}}= ( \frac{3}{5} . 2^{n+1}) : (\frac{3}{5}. 2^n) =( \frac{3}{5} . 2^{n}.2) : (\frac{3}{5}. 2^n)= 2$.

$\Rightarrow u_{n+1}= u_n.2; n\in {\mathbb N}^*$

$\Rightarrow u_{1}=\frac{3}{5}.2^{1}=\frac{6}{5}$

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_1= \frac{6}{5}$, $q = 2$

Với mọi $∀ n\in {\mathbb N}^*$
Ta có $u_{n+1}= \frac{5}{2^{n+1}}=\frac{5}{2^{n}}.\frac{1}{2}$=$ u_n.\frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_{1}=\frac{5}{2^{1}}=\frac{5}{2}$

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_1= \frac{5}{2}$,$q= \frac{1}{2}$

Với mọi $∀ n\in {\mathbb N}^*$
Ta có $u_{n+1}= (-\frac{1}{2})^{n+1}=(-\frac{1}{2})^{n}.(-\frac{1}{2})=u_{n}.\frac{-1}{2}$.

$\Rightarrow u_{1}=\left ( -\frac{1}{2} \right )^{1}=\frac{-1}{2}$

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với $u_1= \frac{-1}{2}$,$q= \frac{-1}{2}$.

==================

Câu 2: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11

Cho cấp số nhân với công bội $q$.

a) Biết $u_1= 2, u_6= 486$. Tìm $q$

b) Biết $q = \frac{2}{3}$, $u_4= \frac{8}{21}$. Tìm $u_1$

c) Biết $u_1= 3, q = -2$. Hỏi số $192$ là số hạng thứ mấy?

Hướng dẫn giải:
Trong bài này ta áp dụng công thức tính số hạng tổng quát $u_n= u_1.q^{n-1}$ biết hai đại lượng, ta sẽ tìm đại lượng còn lại:

a) Biết $u_1= 2, u_6= 486$

Theo định lí 2 $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$

Ta có: $u_{6}=u_{1}.q^{6-1}=u_{1}.q^{5}$

$\Rightarrow q^{5}=u_{6}\div u_{1}=486 \div 2=243$

$\Rightarrow q = 3$.

b) Biết $q = \frac{2}{3}$, $u_4= \frac{8}{21}$

Theo định lí 2 $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$

Ta có: $u_{4}=u_{1}.q^{4-1}=u_{1}.q^{3}$

$\Rightarrow u_{1}=\frac{u_{4}}{q^{3}}=\frac{\frac{8}{21}}{\left ( \frac{2}{3} \right )^3}$

$\Rightarrow u_1= \frac{9}{7}$

c)Biết $u_1= 3, q = -2$

Theo định lí 2 $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$

Ta có: $u_{n}=192\Rightarrow 3.(-2)^{n-1}=192\Rightarrow 2^{n-1}=64=2^{6}$

$\Rightarrow n-1=6\Rightarrow n=7$

Đáp số: $n =7$.

================

Câu 3: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tìm các số hạng của cấp số nhân $(u_n)$ có năm số hạng, biết:

a) $u_3= 3$ và $u_5= 27$;

b) $u_4– u_2= 25$ và $u_3– u_1= 50$

Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

$u_3= 3 = u_1.q^2$

$u_5= 27 = u_1.q^4$

Vì $27 = ({u_1}{q^2}).{q^2} = 3.{q^2}\Rightarrow {q^2} = 9\Rightarrow q = \pm 3$

Thay $q^2= 9$ vào công thức chứa $u_3$

Ta có $u_1=\frac{3}{q^{2}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

Cấp số nhân $(u_{n})$công bội q có thể viết dưới dạng:

$u_{1}, u_{1}q^{2}; u_{1}q^{3}; …; u_{1}q^{n-1}; ……$. Ta có:

adsense

Nếu $q = 3$, ta có cấp số nhân: $ \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27$.
Nếu $q = -3$, ta có cấp số nhân: $ \frac{1}{3}, -1, 3, -9, 27$.
b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=25 & \\ u_{3}-u_{1}=50 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 (2) \end{matrix}\right.$

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với q ta được:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{3}-u_{1}q=50q (2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2}-u_{1}=50\\ 25-50q=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-u_{1}=50\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}=-\frac{200}{3}\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Ta có 5 số hạng của cấp số nhân $ \frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}$.

================

Câu 4: trang 104 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là $31$ và tổng của năm số hạng sau là $62$.

Hướng dẫn giải:
Giả sử có cấp số nhân: ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}$

Theo giả thiết ta có:

$\left\{\begin{matrix}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31 & \\ {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62 & \end{matrix}\right.$

Nhân hai vế của (1) với $q$, ta được:

${u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q ={u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6}$

$\Rightarrow 62= 31q$

$\Rightarrow q = 2$.

Ta có $S_5= 31 = {{{u_1}(1 – {2^5})} \over {1 – 2}}$

$\Rightarrow u_1= 1$.

Vậy ta có cấp số nhân $1, 2, 4, 8, 16, 32$.

================

Câu 5: trang 104 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là $1,4\% $. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là $1,8$ triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:
Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là x.

Vì tỉ lệ tăng dân số là $1,4\%$ nên sau một năm, số dân tăng thêm là $1,4%.x$.

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

$x + 1,4\%.x = 101,4\%.x =\frac{1014}{1000}.x$.

Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.

$x; \frac{1014}{1000}.x; (\frac{1014}{1000})^{2}.x$, …

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, với số hạng đầu $x = 1,8$triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là:

$(\frac{1014}{1000})^{5}.1,8 ≈ 1,9$ (triệu người)

và sau 10 năm số dân sẽ là

$ (\frac{101,4}{100})^{10}.1,8 ≈ 2,1$ (triệu người).

================

Câu 6: trang 104 sgk toán Đại số và giải tích 11

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông$C_{2}$. Từ hình vuông $C_{2}$lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông khác. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông. Gọi $a_n$ là độ dài cạnh của hình vuông $C_n$. Chứng minh dãy số $(a_n)$ là một cấp số nhân.

Giải bài tập Chương 3 Bài 4 Cấp số nhân

Hướng dẫn giải:
Xét dãy số $(a_n)$

Ta có cạnh của hình vuông $C_{1}$là 4 nên ta có $a_1= 4$.

Cạnh hình vuông $C_2$có độ dài cạnh là $a_2=\sqrt{1^{2}+3^{2}}$.

Giả sử hình vuông cạnh $C_n$ có độ dài cạnh là $a_n$.

Ta sẽ tính cạnh $a_{n+1}$ của hình vuông $C_{n+1}$

Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

${a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{1 \over 4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {{3 \over 4}{a_n}} \right)}^2}} = {a_n}.{{\sqrt {10} } \over 4}\forall n \in {\mathbb N}^*$

Vậy dãy số $(a_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu là $a_1= 4$ và công bội $q = {{\sqrt {10} } \over 4}$.

====================