Giải bài tập Bài 3 Cấp số cộng – SGK Đại số 11 CB
Câu 1: trang 97 sgk toán đại số và giải tích 11
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
a) \(u_n= 5 – 2n\)
b) \(u_n= \frac{n}{2}- 1\)
c) \(u_n= 3^n\)
d) \(u_n= \frac{7-3n}{2}\)
Hướng dẫn giải:
a. Ta có: $u_{1}=5-2.1=3$
Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}=5-2.(n+1)-(5-2n)=5-2n-2-5+2n=-2$
Vậy với mọi \(n\in {\mathbb N}^*; u_{n+1}-u_n = -2\)
Vậy dãy số là cấp số cộng có \(u_1= 3\) và công sai \(d = -2\).
b. Ta có: $u_{1}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
Với $n>0$
Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n+1}{2}-1-\left ( \frac{n}{2}-1 \right )$
$=\frac{n+1-2}{2}-\frac{n-2}{2}=\frac{n+1-2-n+2}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), \(u_{n+1}-u_n= \frac{1}{2}\).
Vậy dãy số là cấp số cộng với \(u_1= – \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{2}\).
c. Với $n>0$
Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}=3^{n+1}-3^{n}=3.3^{n}-3^{n}=2.3^{n}=2.u_{n}\neq u_{n}+d$
Vậy dãy số không phải là cấp số cộng.
d. Ta có: $u_{1}=\frac{7-3.1}{2}=2$
Với $n>0$
Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}=\frac{7-3(n+1)}{2}-\frac{7-3n}{2})$
$=\frac{7-3n-3-7+3n}{2}=\frac{-3}{2}$
Vậy với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
\(u_{n+1}-u_n=-\frac{3}{2}\)
Vậy dãy số là cấp số cộng có \(u_1 = 2\), \(d = -\frac{3}{2}\).
=================
Câu 2: trang 97 sgk toán đại số và giải tích 11
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
a) \( \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\),
b) \( \left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức \(u_n= u_1+ (n – 1)d\).
a) Từ hệ thức đã cho ta có:
$u_{3}=u_1+ (3 – 1)d=u_1+ 2d$
$u_{5}=u_1+ (5 – 1)d=u_1+ 4d$
$u_{6}=u_1+ (6 – 1)d=u_1+ 5d$
Ta được hệ sau:
\( \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{1}-2d+u_{1}+4d=10\\ u_{1}+u_{1}+5d =17 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}+2d=10\\ 2u_{1}+5d = 17 \end{matrix}\right.\)
.Giải hệ ta được: \(u_1= 16, d = -3\).
Vậy số hạng đầu $u_{1}=16$; công sai là $d=-3$
b) Từ hệ đã cho ta có:
$u_{7}=u_1+ (7 – 1)d=u_1+ 6d$
$u_{3}=u_1+ (3 – 1)d=u_1+ 2d$
$u_{2}=u_1+ (2 – 1)d=u_1+ d$
\( \left\{\begin{matrix} u_{1}+6d-u_{1}-2d =8\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2d =4\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d =2\\ (u_{1}+2)(u_{1}+6.2)=75 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ ta được: \(u_1= 3\) và \(d = 2\) hoặc \(u_1= -17\) và \(d = 2\)
Vậy số hạng đầu $u_{1}=3$hoặc $u_{1}=-17$; công sai là $d=2$
=================
Câu 3: trang 97 sgk toán đại số và giải tích 11
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\).
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
Hướng dẫn giải:
a)Ta có thể sử dụng các công thức sau:
$u_{n}=u_{1}+(n-1)d; d\geq 2$
$S_{n}=\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$
$\Leftrightarrow S_{n}=n.u_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$
Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\) thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.
b) Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng.
Ta giải từng bài tập nhỏ ta sẽ hoàn thành bảng.
- Biết \(u_1= -2, u_n= 55, n = 20\). Tìm \(d, S_n\)
Áp dụng công thức \(d = {{{u_n} – {u_1}} \over {n – 1}}=\frac{55-(-2)}{20-1}=3\)
\({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}=\frac{(-2+55).20}{2}=530\)
Đáp số: \(d = 3, S_{20}= 530\).
- Biết \(d = -4, n = 15\), \(S_n= 120\)
Tìm \(u_1,u_n\)
Áp dụng công thức \(u_{15}= u_1+ (n – 1)d=u_{1}+(15-1).(-4)=u_{1}-56\)
$\Leftrightarrow u_{1}-u_{15}=56$(1)
\({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\)
$\Rightarrow S_{15} = {{({u_1} + {u_15}).15} \over 2}$
$\Leftrightarrow \frac{({u_1} + u_{15}).15}{2}=120$
$\Leftrightarrow ({u_1} + u_{15}).15=240$
$\Leftrightarrow {u_1} + u_{15}=16$(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ sau:
\(\left\{ \matrix{{u_1} – {u_{15}} = 56 \hfill \cr {u_1} + {u_{15}} = 16 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ trên, ta được \(u_1= 36, u_{15}= – 20\).
- Áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n – 1)d\)
Ta có $n-1=\frac{u_{n}-u_{1}}{d}=\frac{7-3}{\frac{4}{27}}=27\Rightarrow n=28$
Áp dụng công thức \({S_n} = \frac{(u_{1}+u_{n}).n}{2}=\frac{(3+7).28}{2}=140$
Đáp số: \(n = 28\), \(S_n= 140\).
- Áp dụng công thức \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\)
$\Leftrightarrow u_{1}+u_{n}=\frac{S_{n}.2}{n}=\frac{72.2}{12}=12$
$\Rightarrow u_{1}=12-u_{n}=12-17=-5$
Áp dụng công thức
\(u_n= u_1+ (n – 1)d\Rightarrow d=\frac{u_{n}-u_{1}}{n-1}=\frac{17-(-5)}{12-1}=2\)
Đáp số: \(u_1= -5, d= 2\).
- Áp dụng công thức \({S_n} = {{\left[ {2{u_1} + (n – 1)d} \right].n} \over 2}\)
Thay số vào ta tìm được giá trị của n.
Tiếp theo áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n – 1)d\)
Ta tìm được giá trị của $u_{n}$
Đáp số: \(n = 10, u_n= -43\).
Ta được bảng sau:
===================
Câu 4: trang 98 sgk toán đại số và giải tích 11
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \(0,5 m\). Cầu thang đi từ tầng một lên tầng \(2\) gồm \(21\) bậc, mỗi bậc cao \(18 cm\).
a) Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Hướng dẫn giải:
a. Đổi $18cm=0,18m$
Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là \(h_n\)
Ta có: \( h_n= 0,5 + n.0,18(m)\).
b. Vì cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc nên ta có chiều cao của sàn tầng hai so với mặt sân là $h_{21}$
Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là
\(h_{21}= 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m)\).
=============
Câu 5: trang 98 sgk toán đại số và giải tích 11
Từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ
Hướng dẫn giải:
Đồng hồ đánh số tiếng chuông là:
\(S = 1 + 2 + 3 +….+ 12\)
Đây là tổng của 12 số hạng của cấp số cộng có \(u_1= 1, u_{12}= 12\).
Do đó áp dụng công thức tính tổng. Ta có:
\(S_{12} = \frac{(1+12).12}{2} = 78\).
Vậy đồng hồ đánh \(78\) tiếng chuông.
=====
Bài 3 Cấp số cộng
Trả lời