Giải bài tập Ôn chương III Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

adsense

Giải bài tập Ôn chương III Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – ĐS 11 CB

Câu 1: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Hướng dẫn giải:

Xét cấp số cộng $(u_n)$ với $u_{n+1}= u_n+ d$

Ta có: $u_{n+1}– u_n= d$

Nếu $d > 0\Rightarrow u_{n+1}> u_n$
Nếu $d < 0\Rightarrow u_{n+1}< u_n$

Vậy cấp số cộng $(u_n)$tăng nếu $d > 0$; giảm nếu $d < 0$

===============

Câu 2: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Cho cấp số nhân có $u_1< 0$ và công bội $q$. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a) $q > 0$

b) $q < 0$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $u_n=u_1q^{n-1}$

a) Nếu $\left\{ \matrix{q > 0 \hfill \cr {u_1} < 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {u_n} < 0,\forall n$

b) Nếu $\left\{ \matrix{q < 0 \hfill \cr {u_1} < 0 \hfill \cr} \right.$

Thì $u_n< 0$ khi $n – 1$ chẵn và $u_n> 0$ khi $n – 1$ lẻ.

==================

Câu 3: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích 11

Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng, Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.

Hướng dẫn giải:

Gọi $(u_n)$ và $(a_n)$ là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là $d_1$ và $d_2$và có cùng $n$ số hạng.

Ta có:

$u_n= u_1+ (n-1)d_1$

$a_n= a_1+ (n-1)d_2$

$\Rightarrow u_n+ a_n= u_1 +a_1+ (n – 1).(d_1+ d_2)$

Vậy $u_n+ a_n$ là cấp số cộng có số hạng đầu là $u_1+a_1$ và công sai là $d_1+d_2$

Ví dụ:

$2, 4, 6, 8 ,…$ là cấp số cộng có công sai $d_1= 2$

$0, 5, 10, 15,…$ là cấp số cộng có công sai $d_2= 5$

$⇒ 2, 9, 16, 23 ,…$ là cấp số cộng có công sai là $d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7$.

==============

Câu 4: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tính các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Hướng dẫn giải:

Ta có $(a_n)$ là cấp số nhân và $(b_n)$ là cấp số nhân tương ứng.

Ta có:

${a_n} = {a_1}.{q_1}^{n – 1},{q_1}$ là hằng số

${b_n} = {b_1}.{q_1}^{n – 1},{q_2}$ là hằng số

Khi đó: ${a_n}.{b_n} = = {a_1}.{q_1}^{n – 1}.{b_1}.{q_1}^{n – 1} = ({a_1}{b_1}){({q_1}{q_2})^{n – 1}}$

Vậy dãy số $a_nb_n$ là một cấp số nhân có công bội : $q = q_1.q_2$

Ví dụ:

$1, 5, 25 ,…$ là cấp số nhân có công bội $q_1= 5$

$3, 9, 27, …$ là cấp số nhân có công bội $q_2= 3$

Suy ra: $3, 45, 675…$ là cấp số nhân có công bội: $q = q_1q_2= 5.3 = 15$.

================

Câu 5: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi $n\in {\mathbb N}^*$, ta có:

a. $13^n-1$ chia hết cho 6

b. $3n^3+ 15n$ chia hết cho 9

Hướng dẫn giải:

a) Với $n = 1$, ta có:

$13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6$

Giả sử: $(13^k- 1) ⋮ 6$ với mọi $k ≥ 1$

Ta chứng minh: $13^{k+1}– 1$ chia hết cho $6$

Thật vậy:

${13^{k + 1}}-1= {13^{k + 1}}-{13^k} + {13^k} – 1 = {12.13^k} + {13^k}-1$

Vì : $12.13^k ⋮ 6$ và $(13^k– 1) ⋮ 6$ (theo giả thiết quy nạp)

$\Rightarrow (13^{k+1}– 1) ⋮ 6$

Vậy $(13^n-1)$ chia hết cho 6

b) Với $n = 1$, ta có: $3.1^3+ 15.1 = 18 ⋮ 9$

Giả sử: $(3k^3+ 15k) ⋮ 9$.

Ta chứng minh: $[3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9$

Thật vậy:

$3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) $

$= 3.({k^3} + 3{k^2} + 3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)$

$= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18$

$= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2)$

Vì $(3k^3 + 15k) ⋮ 9$(theo giả thiết quy nạp) và $9(k^2+ k + 2) ⋮ 9$

$\Rightarrow [3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9$

Vậy: $3n^3+ 15n$ chia hết cho 9 với mọi $n\in {\mathbb N}^*$

=================

Câu 6: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_1= 2, u_{n+1} =2u_n– 1$(với $n ≥ 1$)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh: $u_n= 2^{n-1}+ 1$bằng phương pháp quy nạp.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy là:

${u_1} = 2$

${u_2} = 2{u_1}-1 = 2.2-1=3$

${u_3} = 2{u_2}-1 = 2.3-1=5$

${u_4} = 2{u_3} – 1 = 2.5-1=9$

${u_5} = 2{u_4}-1 = 2.9-1=17$

b) Với $n = 1$, ta có: $u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2$ công thức đúng.

Giả sử công thức đúng với $n = k$

Hay ${u_k} = {2^{k – 1}} + 1$

Ta chứng minh công thức cũng đúng với $n = k + 1$

Hay là ta cần phải chứng minh ${u^{k + 1}} = {2^{\left( {k + 1} \right) – 1}} + 1 = {2^k} + 1$

Ta có: ${u_{k + 1}} = 2{u_k} – 1 = 2({2^{k – 1}} + 1) – 1 = {2.2^{k – 1}} + 2-1 = {2^k} + 1$ (đpcm)

Vậy $u_n= 2^{n-1}+ 1$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$.

==================

Câu 7: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số $(u_n)$, biết:

a) ${u_n} = n + {1 \over n}$
b) ${u_n} = {( – 1)^n}\sin {1 \over n}$
c) ${u_n} = \sqrt {n + 1} – \sqrt n $

Hướng dẫn giải:

Xét hiệu:

$u_{n +1} -u_{n}= \left ( n+1+\frac{1}{n+1} \right ) – \left ( n+\frac{1}{n+1} \right )$

$= 1 + \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n} = \frac{n^{2}+n-1}{n(n+1)},n \in {N^*}$

Vậy $u_n$ là dãy số tăng (1)

Ta lại có: ${u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}} = 2,\forall n \in {N^*}$

Nên $u_n$ là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi $n$ càng lớn thì $u_n$ càng lớn nên $u_n$ là dãy số không bị chặn trên (3)

Từ (1), (2), (3) ta có $u_n$ là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Ta có:

$u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0$

$u_{2}=(-1)^{1}.sin\frac{1}{2}=-sin\frac{1}{2}<0$

$u_{3}=(-1)^{2}.sin\frac{1}{3}=sin\frac{1}{3}>0$

$\Rightarrow u_{1}> u_{2}$và $u_2< u_3$

Vậy $u_n$ là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:$\eqalign{ & |{u_n}| = |{( – 1)^{n – 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr \Leftrightarrow – 1 \le {u_n} \le 1 \cr} $

Vậy $u_n$ là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

Ta có:

${u_n} = \sqrt {n + 1} – \sqrt n = {{n + 1 – n} \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{\sqrt{(n+1)+1}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Ta có:

$\left\{ \matrix{ \sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr \sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n $

$\Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} < 0$

adsense

$\Rightarrow u_{n}$là dãy số giảm (1)

Ta lại có: ${u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*$

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì $\sqrt {n + 1} + \sqrt n \ge \sqrt 2 + 1$

Nên ${u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2 + 1}}$

Suy ra: $u_n$ là dãy số bị chặn trên (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $u_n$ là dãy số giảm và bị chặn

==================

Câu 8: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của các cấp số cộng (u_n) biết:

a) $\left\{ \matrix{5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.$

b) $\left\{ \matrix{{u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\left\{ \matrix{ 5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5u_{1}+10(u_{1}+4d)=0 & \\ \frac{4(2u_{1}+3d)}{2}=14 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{3{u_1} + 8d = 0 \hfill \cr 2{u_1} + 3d = 7 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1} = 8 \hfill \cr d = – 3 \hfill \cr} \right.$

Vậy số hạng đầu $u_1= 8$, công sai $d = -3$

b) Ta có:

$\left\{ \matrix{ {u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ ({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60(1) \hfill \cr {({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170(2) \hfill \cr} \right.$

Giải phương trình (1) ta được:

$2u_1+ 20d = 60 \Leftrightarrow u_1= 30 – 10d$

Thế vào phương trình (2) ta được phương trình (2) tương đương:

$[(30 – 10d) + 3d]^2+ [(30 – 10d) + 11d]^2= 1170$

$\Leftrightarrow (30 – 7d)^2+ (30 + d)^2= 1170$

$\Leftrightarrow 900 – 420d + 49d^2+ 900 + 60d + d^2= 1170$

$\Leftrightarrow 50d^2– 360d + 630 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \matrix{d = 3 \Rightarrow {u_1} = 0 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \Rightarrow {u_1} = – 12 \hfill \cr} \right.$

Vậy $\left\{ \matrix{ {u_1} = 0 \hfill \cr d = 3 \hfill \cr} \right.$hoặc $\left\{ \matrix{ {u_1} = – 12 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \hfill \cr} \right.$

=================

Câu 9: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội của các cấp số nhân $(u_n)$, biết:

a) $\left\{ \matrix{{u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right.$

b)$\left\{ \matrix{{u_4} – {u_2} = 72 \hfill \cr {u_5} – {u_3} = 144 \hfill \cr} \right.$

c) $\left\{ \matrix{{u_2} + {u_5} – {u_4} = 10 \hfill \cr {u_3} + {u_6} – {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.$

Hướng dẫn giải:

a) $\left\{ \matrix{ {u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^5} = 192(1) \hfill \cr {u_1}.{q^6} = 384(2) \hfill \cr} \right.$

Lấy (2) chia (1) theo vế tương ứng ta được: $q = 2$

Thế vào (1) ta được

$\Leftrightarrow u_1.2^5= 192 \Leftrightarrow u_1= 6$

Vậy $u_1= 6; q = 2$.

b) Ta có: $\left\{ \matrix{ {u_4} – {u_2} = 72 \hfill \cr {u_5} – {u_3} = 144 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^3} – {u_1}.q = 72 \hfill \cr {u_1}.{q^4} – {u_1}.{q^2} = 144 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.q({q^2} – 1) = 72(1) \hfill \cr {u_1}.{q^2}({q^2} – 1) = 144(2) \hfill \cr} \right.$

Lấy (2) chia (1) theo vế tương ứng ta được: $q = 2$

Thế vào (1) ta được:

$\Leftrightarrow 2u_1(4 – 1) = 72 \Leftrightarrow u_1= 12$

Vậy $u_1= 12; q = 2$

c) Ta có: $\left\{ \matrix{ {u_2} + {u_5} – {u_4} = 10 \hfill \cr {u_3} + {u_6} – {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.q + {u_1}.{q^4} – {u_1}.{q^3} = 10 \hfill \cr {u_1}.{q^2}+u_1.q^5-u_1.q^4 = 20 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}q(1 + {q^3} – {q^2}) = 10(1) \hfill \cr {u_1}q^2(1 + {q^3} – {q^2}) = 20(2) \hfill \cr} \right.$

Lấy (2) chia (1) theo vế tương ứng ta được: $q = 2$

Thế vào (1) ta được:

(1) $\Leftrightarrow 2u_1(1 + 8 – 4) = 10 \Leftrightarrow u_1= 1$

Vậy $u_1= 1; q = 2$

====================

Câu 10: trang 108 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Tứ giác $ABCD$ có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự $A, B, C, D$. Biết rằng góc $C$ gấp năm lần góc $A$. Tính các góc của tứ giác.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có: $A, B, C, D$ là một cấp số cộng và $\widehat C = 5\widehat A$

Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: $d$.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

$\left\{\begin{matrix}\widehat B=\widehat A+d & \\ \widehat C=\widehat A+2d & \\ \widehat D=\widehat A+3d & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \widehat A+2d= 5\widehat A\Leftrightarrow 4\widehat A-2d=0$ (1)

Ta lại có: $\widehat A+\widehat B+ \widehat C+\widehat D=360^0$

$\Leftrightarrow 4\widehat A +6d=360^0$ (2)

Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}4\widehat A-2d=0 & \\ 4\widehat A +6d=360^0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}d=45^{0} & \\ \widehat A = 22,5^{0}=22^{0}30′ & \end{matrix}\right.$

$\widehat B=\widehat A+d=22^{0}30’+45^{0}=67^{0}30’$

$\widehat C=\widehat A+2d=22^{0}30’+2.45^{0}=112^{0}30’$

$\widehat D=\widehat A+3d=22^{0}30’+3.45^{0}=157^{0}30’$

Vậy $\widehat A = {22^0}30′; \widehat B = {67^0}30′ ; \widehat C = {112^0}30′; \widehat D = {157^0}30′ $.

====================

Câu 11: trang 108 sgk toán Đại số và giải tích 11

Biết rằng ba số $x, y, z$ lập thành một cấp số nhân và ba số $x, 2y, 3z$ lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ba số $x, y, z$ lập thành một cấp số nhân nên ta có:

$y = x.q; z = y.q = x.q^2$,với q là công bội

Ba số $x, 2y, 3z$ lập thành một cấp số cộng nên ta có:

$x + 3z = 4y$

$\Leftrightarrow x + 3.(xq^2) = 4.(xq)$

$\Leftrightarrow x. (1 + 3q^2– 4q) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$

Hay $3q^2– 4q + 1 = 0$

Nếu $x = 0$thì $x = y= z= 0$, q là một số tùy ý

Nếu $x ≠ 0$thì:

$3q^2- 4q + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.$

Vậy công bội của cấp số nhân là $q=1$hoặc $q=\frac{1}{3}$

================

Câu 12: trang 108 sgk toán Đại số và giải tích 11

Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là $12 288$ $m^2$. Tính diện tích mặt trên cùng.

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu:

$u_1= 12 288$ $m^2$ và công bội $q = {1 \over 2}$

Vậy diện tích mặt trên cùng là:

${u_{12}} = {u_1}.{q^{12-1}} ={u_1}.{q^{11}}= 12288.{({1 \over 2})^{11}} = 6{m^2}$

================

Câu 13: trang 108 sgk toán Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng nếu các số ${a^2},{b^2},{c^2}$lập thành một cấp số cộng $(abc ≠ 0)$thì các số ${1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}$cũng lập thành một cấp số cộng.