Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là $\left( 1;0 \right)$ và $\left( 8;0 \right)$ với đơn vị trên hệ trục tọa độ là $1(km)$. Biết rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm $\left( 6;5 \right)$. Hỏi khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất $3875(m)$ thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang bao nhiêu? (đơn vị: $km$ )
Lời giải
Đáp án: $7,2$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình của đường cong là $y=\dfrac{{{x}^{2}}+bx+c}{dx+e}$
Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là $\left( 1;0 \right)$ và $\left( 8;0 \right)$ nên
${{x}^{2}}+bx+c=\left( x-1 \right)\left( x-8 \right)={{x}^{2}}-9x+8$
Suy ra $y=\dfrac{{{x}^{2}}-9x+8}{dx+e}\Rightarrow {y}’=\dfrac{(2x-9)(dx+e)-d({{x}^{2}}-9x+8)}{{{(dx+e)}^{2}}}$
Vì đồ thị hàm số có điểm cực đại là $\left( 6;5 \right)$ nên suy ra
$\left\{ \begin{array}{l}
{y}'(6)=0 \\
y(6)=5 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3(6d+e)+10d=0 \\
\dfrac{-10}{6d+e}=5 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
28d+3e=0 \\
30d+5e=-10 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow d=\dfrac{3}{5};e=-\dfrac{28}{5}$
Vậy phương trình của hàm số là: $y=\dfrac{5({{x}^{2}}-9x+8)}{3x-28}$. Kiểm tra lại điểm cực trị của hàm số này ta thấy điểm $\left( 6;5 \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ tìm nghiệm $x{>}6$ của phương trình
$\dfrac{5({{x}^{2}}-9x+8)}{3x-28}=3,875\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-56,625x+148,5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=7,2 \\
x=4,125(L) \\
\end{array} \right.$
Vậy khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất $3875(m)$ thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang là 7,2 km.