Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m – 1} \right){x^4} – 2m{x^2} + 1\) với \(m\) là tham số thực. 

Nếu  \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,3} \right]} f\left( x \right)\)  bằng 

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m – 1} \right){x^4} – 2m{x^2} + 1\) với \(m\) là tham số thực. 

Nếu  \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,3} \right]} f\left( x \right)\)  bằng 

A. \( – \frac{{13}}{3}\). B. 4. C. \( – \frac{{14}}{3}\). D. 1.

Lời giải

Ta có  \(f\left( x \right) = \left( {m – 1} \right){x^4} – 2m{x^2} + 1\)\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 4\left( {m – 1} \right){x^3} – 4mx = 4x\left[ {\left( {m – 1} \right){x^2} – m} \right]\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left( {m – 1} \right){x^2} – m = 0\left( * \right)\end{array} \right.\).

Điều kiện cần để \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) là PT \(\left( * \right)\) có nghiệm \(x = 2\) \( \Leftrightarrow 4\left( {m – 1} \right) – m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{4}{3}\).

Khi đó \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^4} – \frac{8}{3}{x^2} + 1 \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^3} – \frac{{16}}{3}x\)\(\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ {0\,;\,3} \right]\\x = 2 \in \left[ {0\,;\,3} \right]\\x =  – 2 \notin \left[ {0\,;\,3} \right]\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = 1\,;\,f\left( 3 \right) = 4\,;\,f\left( 2 \right) =  – \frac{{13}}{3}\).

Vậy  \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) =  – \frac{{13}}{3}\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = 4\) khi \(x = 3\).

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.