Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + 2\left( {a + 4} \right){x^2} – 1\) với \(a\) là tham số thực.

Nếu \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} f\left( x \right)\) bằng

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + 2\left( {a + 4} \right){x^2} – 1\) với \(a\) là tham số thực.

Nếu \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} f\left( x \right)\) bằng

A. \( – 17\). B. \( – 16\). C. \( – 1\). D. \(3\).

Lời giải

Ta có \(f\left( x \right) = a{x^4} + 2\left( {a + 4} \right){x^2} – 1\)\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 4a{x^3} + 4\left( {a + 4} \right)x = 4x\left[ {a{x^2} + \left( {a + 4} \right)} \right]\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\a{x^2} + \left( {a + 4} \right) = 0\left( * \right)\end{array} \right.\).

Điều kiện cần để \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) là PT \(\left( * \right)\) có nghiệm \(x = 1\) \( \Leftrightarrow a + \left( {a + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow a =  – 2\).

Khi đó \(f\left( x \right) =  – 2{x^4} + 4{x^2} – 1 \Rightarrow f’\left( x \right) =  – 8{x^3} + 8x\)\(\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ {0\,;\,2} \right]\\x = 1 \in \left[ {0\,;\,2} \right]\\x =  – 1 \notin \left[ {0\,;\,2} \right]\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 0 \right) =  – 1\,;\,f\left( 2 \right) =  – 17;\,f\left( 1 \right) = 1\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} f\left( x \right) =  – 17\) khi \(x = 2\).

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.