Đề: Cho hàm số:  $y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.2)    Tìm trên trục $Oy$ các điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị $(C)$.3)    Xác định $a$ để đồ thị $(C)$ tiếp xúc với parabol $y = {x^2} + a$

Đề bài: Cho hàm số:  $y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.2)    Tìm trên trục $Oy$ các điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị $(C)$.3)    Xác định $a$ để đồ thị $(C)$ tiếp xúc với parabol $y = {x^2} + a$

Lời giải

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Tìm $A(0, b)$ là một điểm trên trục $Oy$ mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ có phương trình $y = kx + b$ đi qua.
Ta có:  $y = x + \frac{1}{{x – 1}},y’ = 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$.
Khi đó:  ${y_0} = {x_0} + \frac{1}{{{x_0} – 1}},k = 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}},{y_0} = k{x_0} + b$
$ \Rightarrow b = {y_0} – k{x_0} = {x_0} + \frac{1}{{{x_0} – 1}} – \left[ {1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}} \right]{x_0}$
    $\frac{{2{x_0} – 1}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = – 1 + \frac{{x_0^2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \ge – 1$, (dấu = xảy ra khi ${x_0} = 0$).
Thành thử các điểm trên trục $Oy$ từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đồ thị $(C)$ là các điểm có tung độ $b \ge 1$.

$3)$    Hoành độ tiếp điểm của parabol $y = {x^2} + a$ với đồ thị $(C)$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{{x – 1}} = {x^2} + a{\rm{                      (1)}}\\
1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = 2x{\rm{                        (2)}}
\end{array} \right.$
${\rm{(2)}} \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} – 1 = 2x{\left( {x – 1} \right)^2} \Leftrightarrow x\left( {x – 2} \right) = 2x{\left( {x – 1} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow x\left( {2{x^2} – 5x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0.$
Thế $x = 0$ vào $(1)$ ta có $a = – 1$