Đề: Cho hàm số: $y = \frac{{x^2 + (m + 1)x – m + 1}}{x – m}$$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 2.$$2.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị hàm số (với $m = 2$ ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.

Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{{x^2 + (m + 1)x – m + 1}}{x – m}$$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 2.$$2.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị hàm số (với $m = 2$ ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.

Lời giải

$1.$ Xin dành cho bạn đọc. 
$2.$ Xét $M\left( {{x_0};{x_0} + 5 + \frac{9}{{{x_0} – 2}}} \right)$ tùy ý trên đồ thị ($C$). Khoảng cách từ $M$ đến các đường tiệm cận $x – 2 = 0$ và $y – x – 5 = 0$ lần lượt là:
$\left\{ \begin{array}{l}
{h_1} = |{x_0} – 2|\\
h2 = \frac{{|{x_0} + 5 + \frac{9}{{{x_0} – 2}} – {x_0} – 5|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{9}{{\sqrt 2
|{x_0} – 2|}}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {h_1}{h_2} = \frac{9}{{\sqrt 2 }}$ không đổi.
$3)y’ = \frac{{{x^2} – 2mx – {m^2} – 1}}{{{{(x – m)}^2}}}$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt.
$ \Rightarrow {x_{1,2}} = m \pm \sqrt {2{m^2} + 1} $ do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Nếu đồ thị không cắt trục hoành thì $ymax ;ymin$ trái dấu. Nếu đồ thị cắt trục hoành thì $ymax;ymin$ cùng dấu.
Vậy YCBT  $\Leftrightarrow  {x^2} + (m + 1)x – m + 1 = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt $ \ne m$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = {m^2} + 6m – 3 > 0\\
{m^2} + (m + 1)m – m + 1 \ne 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m m >  – 3 + \sqrt {12}
\end{array} \right.$