Đề bài: Tính \(I = \int\limits_0^e {x\sqrt {e + {x^2}} } d{\rm{x}}.\)

Đặt \(t = \sqrt {e + {x^2}}  \Rightarrow {t^2} = e + {x^2} \Rightarrow tdt = x{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = \sqrt e \\x = e,t = \sqrt {e + {e^2}} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{\sqrt e }^{\sqrt {{e^2} + e} } {{t^2}dt}  = \left. {\frac{1}{3}{t^3}} \right|_{\sqrt e }^{\sqrt {{e^2} + e} } = \frac{1}{3}\left[ {\left( {e + {e^2}} \right)\sqrt {e + {e^2}}  – e\sqrt e } \right].\)