Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có nhiều nhất \(9\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \({9.3^{2x}} – \left( {9y + \sqrt 3 } \right){3^x} + \sqrt 3 y < 0\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có nhiều nhất \(9\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \({9.3^{2x}} – \left( {9y + \sqrt 3 } \right){3^x} + \sqrt 3 y < 0\)?

A. \(6581\). 

B. \(3541\). 

C. \(6562\). 

D. \(6561\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \({9.3^{2x}} – \left( {9y + \sqrt 3 } \right){3^x} + \sqrt 3 y < 0\).

Đặt \({3^x} = t > 0\).

Khi đó, bất phương trìnhtrở thành \(9{t^2} – \left( {9y + \sqrt 3 } \right)t + \sqrt 3 y < 0\).

Xét phương trình \(9{t^2} – \left( {9y + \sqrt 3 } \right)t + \sqrt 3 y = 0\) có hai nghiệm \({t_1} = y\), \(\,{t_2} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\).

Do \(y \in {\mathbb{N}^*}\) nên bất phương trìnhcó nghiệm là \(\frac{{\sqrt 3 }}{9} < t < y\).

Từ đó suy ra \(\frac{{\sqrt 3 }}{9} < {3^x} < y\) \( \Leftrightarrow  – \frac{3}{2} < x < {\log _3}y\).

Ứng với mỗi số nguyên dương \(y\) có nhiều nhất \(9\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \(x \in \left( { – \frac{3}{2}\,;\,{{\log }_3}y} \right)\) 

\( \Leftrightarrow \)\(0 \le {\log _3}y \le 8\)\( \Leftrightarrow 1 \le y \le 6561\).

Vậy có \(6561\) số nguyên dương \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.