Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có nghiệm nguyên dương \(x\) và có không quá 6 số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{x + 1}} – 9} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có nghiệm nguyên dương \(x\) và có không quá 6 số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{x + 1}} – 9} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\)?

A. \(6552\). 

B. \(6561\). 

C. \(2185\). 

D. \(2186\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Theo giả thiết: \(\left( {{3^{x + 1}} – 9} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\) nên có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{x + 1}} – 9 < 0\\{3^x} – y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{x + 1}} < 9\\{3^x} > y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > {\log _3}y\end{array} \right.\)

Vì \(x,\,y \in {\mathbb{N}^*}\) nên không có \(x,y\)nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán trong trường hợp này.

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{x + 1}} – 9 > 0\\{3^x} – y < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{x + 1}} > 9\\{3^x} < y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \,1 < x < {\log _3}y\)

Đểứng với mỗi số nguyên dương \(y\) có nghiệm nguyên dương \(x\) và và có không quá 6 số nguyên \(x\) thì \(2 < {\log _3}y \le 8\)\( \Leftrightarrow 9 < y \le 6561\).

Mà \(y \in \mathbb{N}* \Rightarrow y \in \left\{ {10,\,11,\,12,\,….,\,6561} \right\}\) nên có 6552 giá trị cần tìm.