Câu hỏi:
Cho hình vẽ bên. Tam giác \(SOA\) vuông tại O có \(MN//SO\) với \(M,\,\,N\) lần lượt nằm trên cạnh SA, \(OA.\) Đặt \(SO=h\) không đổi. Khi quay hình vẽ quanh \(SO\) thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm O bán kính \(R=OA\). Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất.
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Mặt nón, Hình nón, Khối nón trong Phần Mặt tròn xoay.
Ta thấy khi quay quanh trục SO sẽ tạo nên một khối trụ nằm trong khối chóp. Khi đó thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ. Ta có hình sau:
Ta có \(SO=h\); \(OA=R\). Khi đó đặt \(OI=MN=x\).
Theo định lí Thales ta có \(\frac{IM}{OA}=\frac{SI}{SO}\Rightarrow IM=\frac{OA.SI}{SO}=\frac{R.\left( h-x \right)}{h}\). Thể tích khối trụ \(V=\pi I{{M}^{2}}.IH=\frac{\pi {{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}.x{{\left( h-x \right)}^{2}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(2x{{\left( h-x \right)}^{2}}\le {{\left[ \frac{2x+2\left( h-x \right)}{3} \right]}^{3}}\)
Vậy \(V\le \frac{4\pi {{R}^{2}}h}{27}\). Dấu ”=” xảy ra khi \(x=\frac{h}{3}\). Hay \(MN=\frac{h}{3}\).
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Nón
Trả lời