Cho khối nón có đỉnh S, chiều cao bằng 8 và thể tích bằng \(\frac{{800\pi }}{3}\). Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB = 12, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng

Cho khối nón có đỉnh \(S\), chiều cao bằng 8 và thể tích bằng \(\frac{{800\pi }}{3}\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho \(AB = 12\), khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng

A. \(8\sqrt 2 \).

 B. \(\frac{{24}}{5}\).

 C. \(4\sqrt 2 \).

 D. \(\frac{5}{{24}}\).

Lời giải:

Chọn C

Gọi \(O\),\(R\) lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón, \(K\),\(H\) lần lượt là hình chiếu của \(O\) lên \(AB\),\(SK\). Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)bằng \(OH\).

Ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h \Rightarrow {R^2} = \frac{{3V}}{{\pi .h}} = \frac{{3.\frac{{800\pi }}{3}}}{{\pi .8}} = 100 \Rightarrow R = 10\)

Trong tam giác vuông \(OBK\) có: \(OK = \sqrt {O{B^2} – B{K^2}}  = \sqrt {{R^2} – {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{10}^2} – {6^2}}  = 8\).

Trong tam giác vuông \(SOK\)có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{{8^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{2}{{{8^2}}} \Rightarrow OH = 4\sqrt 2 \).