Cho khối nón có đỉnh S, chiều cao bằng 8 và thể tích bằng \(\frac{{800\pi }}{3}\). Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB = 12, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng

Cho khối nón có đỉnh \(S\) , chiều cao bằng 8 và thể tích bằng \(\frac{{800\pi }}{3}\) . Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho \(AB = 12\) , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng

A. \(8\sqrt 2 \) .

 B. \(\frac{{24}}{5}\) .

 C. \(4\sqrt 2 \) .

 D. \(\frac{5}{{24}}\) .

Lời giải:

Chọn C

Gọi \(O\) , \(R\) lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón, \(K\) , \(H\) lần lượt là hình chiếu của \(O\) lên \(AB\) , \(SK\) . Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(OH\) .

Ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h \Rightarrow {R^2} = \frac{{3V}}{{\pi .h}} = \frac{{3.\frac{{800\pi }}{3}}}{{\pi .8}} = 100 \Rightarrow R = 10\)

Trong tam giác vuông \(OBK\) có: \(OK = \sqrt {O{B^2} – B{K^2}}  = \sqrt {{R^2} – {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{10}^2} – {6^2}}  = 8\) .

Trong tam giác vuông \(SOK\) có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{{8^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{2}{{{8^2}}} \Rightarrow OH = 4\sqrt 2 \) .