Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{3}}{9}x^3$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{4-x^2}$ (với $0\le x\le 2)$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ)

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{3}}{9}x^3$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{4-x^2}$ (với $0\le x\le 2)$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V=\left(-\dfrac{a}{b}\sqrt{3}+\dfrac{c}{d}\right)\pi$, trong đó $a, b, c, d\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P=a+b+c+d$.
Đáp án: 46

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm là $\dfrac{\sqrt{3}}{9}x^3=\sqrt{4-x^2}\Leftrightarrow x=\sqrt{3}.$
Khi đó thể tích của khối tròn xoay được tạo thành là
$\begin{array}{l} V =\pi \left[\displaystyle \int\limits_0^{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{9}{x^3}\right)^2\mathrm{d}x+\displaystyle \int\limits_{\sqrt{3}}^{2}\left(\sqrt{4-x^2}\right)^2\mathrm{d}x\right]\\ =\pi \left[\displaystyle \int\limits_0^{\sqrt{3}}{\dfrac{1}{27}x^6\mathrm{d}x}+\displaystyle \int\limits_{\sqrt{3}}^2{\left(4-x^2\right)\mathrm{d}x}\right]\\ =\pi \left[\left. \dfrac{1}{27}\cdot\dfrac{x^7}{7}\right|_0^{\sqrt{3}}+\left. \left(4x-\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_{\sqrt{3}}^2\right]\\ =\left(-\dfrac{20\sqrt{3}}{7}+\dfrac{16}{3}\right)\pi\\ \Rightarrow a=20, b=7, c=16, d=3\\ \Rightarrow P=a+b+c+d=46. \end{array}$