Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{4x – 3}}{{x – 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có hai điểm \(M,N\) thỏa mãn tổng khoảng cách từ \(M\) hoặc \(N\) đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó \(MN\) có giá trị bằng
A. \(MN = 4\sqrt 2 \).
B. \(MN = 6\).
C. \(MN = 4\sqrt 3 \).
D. \(MN = 6\sqrt 2 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(M \in \left( C \right)\)\( \Rightarrow M\left( {m;\frac{{4m – 3}}{{m – 3}}} \right)\), \(m \ne 3\)
Tiệm cận đứng \({\Delta _1}:x – 3 = 0\) \( \Rightarrow d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {m – 3} \right|\)
Tiệm cận ngang \({\Delta _2}:y – 4 = 0\) \( \Rightarrow d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \left| {\frac{{4m – 3}}{{m – 3}} – 4} \right| = \frac{9}{{\left| {m – 3} \right|}}\)
\( \Rightarrow d\left( {M,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M,{\Delta _2}} \right)\)\( = \left| {m – 3} \right| + \frac{9}{{\left| {m – 3} \right|}}\)\( \ge 6\)
\( \Rightarrow {\left( {d\left( {M,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M,{\Delta _2}} \right)} \right)_{\min }} = 6\) đạt được khi \(\left| {m – 3} \right| = \frac{9}{{\left| {m – 3} \right|}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m – 3} \right)^2} = 9\) \( \Leftrightarrow {m^2} – 6m = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.\)
Với \(m = 0\) ta có \(M\left( {0;1} \right)\)
Với \(m = 6\) ta có \(N\left( {6;7} \right)\)\( \Rightarrow MN = 6\sqrt 2 \).
Bài này có nhiều cách hỏi nên ta phát triển thêm các câu khác từ đây. Ví dụ:
Tìm điểm thuộc nhánh phải (nhánh trái) đồ thị mà tổng khoảng cách từ nó đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà tổng khoảng cách từ nó đến hai tiệm cận đạt giá tri nhỏ nhất sao cho hoành độ tiếp điểm có hoành độ dương.
Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có hai điểm \(M,N\) và tổng khoảng cách từ \(M\) hoặc \(N\) đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó,tìm tọa độ trung điểm của \(MN\)
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tiệm cận
Để lại phản hồi