Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} = f\left( x \right).{e^x},\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2.\) Khi đó \(f\left( 4 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} = f\left( x \right).{e^x},\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2.\) Khi đó \(f\left( 4 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {60;62} \right)\).

B. \(\left( {55;58} \right)\).

C. \(\left( {7;8} \right)\).

D. \(\left( {70;72} \right)\).

Lời giải

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 2,\forall x > 0\end{array} \right.\)

Khi đó: \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} = f\left( x \right).{e^x} \Leftrightarrow f’\left( x \right) = \sqrt {f\left( x \right)} .{e^{\frac{x}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }} = \frac{1}{2}{e^{\frac{x}{2}}}\)

\( \Rightarrow \int {\frac{{f’\left( x \right){\rm{d}}x}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }}}  = \int {\frac{1}{2}{e^{\frac{x}{2}}}{\rm{d}}x \Rightarrow } \int {\frac{{{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }}}  = {e^{\frac{x}{2}}} + C \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right)}  = {e^{\frac{x}{2}}} + C\)

Với \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow \sqrt {f\left( 0 \right)}  = 1 + C \Leftrightarrow C = \sqrt 2  – 1\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = {\left( {{e^{\frac{x}{2}}} + \sqrt 2  – 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow f\left( 4 \right) = {\left( {{e^2} + \sqrt 2  – 1} \right)^2} \in \left( {60;62} \right)\).

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024