Cho hai số thực dương \(x\,,\,y\) thỏa mãn \(x > \frac{1}{{10}}\) và \(\log x + \log y + 1 \ge \log \left( {x + y} \right).\)Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + 3y\) thuộc tập hợp nào dưới đây?

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho hai số thực dương \(x\,,\,y\) thỏa mãn \(x > \frac{1}{{10}}\) và \(\log x + \log y + 1 \ge \log \left( {x + y} \right).\)Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + 3y\) thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. \(\left[ {\frac{5}{3};2} \right)\). 

B. \(\left[ {0\;;\frac{4}{3}} \right]\) 

C. \(\left[ {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\) 

D. \(\left[ {\frac{4}{3};2} \right].\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Tự luận:

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.\). Với điều kiện trên ta có: \(\log \left( {10xy} \right) \ge \log \left( {x + y} \right) \Leftrightarrow 10xy \ge x + y\)

\( \Leftrightarrow y\left( {10x – 1} \right) \ge x > 0 \Rightarrow y \ge \frac{x}{{10x – 1}}\;\;\left( {do\;x > \frac{1}{{10}}} \right)\)

Do đó \(S = x + 3y \ge x + \frac{{3x}}{{10x – 1}}.\)

Xét \(f\left( x \right) = x + \frac{{3x}}{{10x – 1}}\;\left( {x > \frac{1}{{10}}} \right)\). Ta có \(f’\left( x \right) = 1 – \frac{3}{{{{\left( {10x – 1} \right)}^2}}}\;\)

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {10x – 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow 10x – 1 = \sqrt 3  \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{10}}\;\;\left( {do\;x > \frac{1}{{10}}\;} \right)\;.\)

Lập bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{{10}}; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{10}}} \right) = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{5}\;.\)

Khi đó \(S = x + 3y \ge x + \frac{{3x}}{{10x – 1}} \ge \mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{{10}}; + \infty } \right)} f\left( x \right) = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{5}\;.\)

\(S = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{5}\; \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{10}}\\y = \frac{x}{{10x – 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{10}}\\y = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{30}}\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + 3y\) là \({S_{\min }} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{5} \in \left[ {0\;;\frac{4}{3}} \right].\)

– Tư duy + C. asio:

+ Ta có: \(\log x + \log y + 1 \ge \log \left( {x + y} \right) \Leftrightarrow 10xy \ge x + y \Leftrightarrow y \ge \frac{x}{{10x – 1}}\;\left( {do\;x > \frac{1}{{10}}} \right)\).

+ Ta lại có: \(S = x + 3y = x + 3\left( {\frac{x}{{10x – 1}}} \right)\). Bấm đạo hàm tìm điểm cực trị.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========