Câu 36: (MH Toan 2020) Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn bằng

Câu 36: (MH Toan 2020) Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn bằng
A. \(\frac{{41}}{{81}}\).
B. \(\frac{4}{9}\).
C. \(\frac{1}{2}\).
D. \(\frac{{16}}{{81}}\).

Lời giải

Đáp án: A
Số các chữ số có 3 chữ số khác nhau là: \(9.9.8 = 648\) số.
Ta có \({n_\Omega } = C_{648}^1 = 648\)
Gọi \(A\) là biến cố chọn được số sao cho tổng các chữ số là số chẵn
Vì số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn nên xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Số được chọn có 3 chữ số là số chẵn
Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẵn là \(A_5^3\).
Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẵn trong đó số \(0\) đứng đầu là \(A_4^2\)
Vậy số các số thỏa mãn biến cố \(A\) là \(A_5^3 – A_4^2 = 48\) số
Trường hợp 2: Ba chữ số được chọn có 2 chữ số là số lẻ và 1 chữ số là chẵn.
Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẻ và 1 chữ số chẵn là \(C_5^2.C_5^1.3!\)
Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẻ và 1 chữ số chẵn là \(0\) đứng đầu là \(C_5^2.2!\)
Vậy nên số các số thỏa mãn biến cố \(A\) là \(C_5^2.C_5^1.3! – C_5^2.2! = 280\) số.
Do đó, \(n(A) = 280 + 48 = 328\)
\( \Rightarrow {P_A} = \frac{{{n_A}}}{{{n_\Omega }}} = \frac{{328}}{{648}} = \frac{{41}}{{81}}\).