Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn $24$ cm, trục nhỏ $14$ cm

Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn $24$ cm, trục nhỏ $14$ cm. Biết cứ $1000$ cm$^3$ dưa hấu sẽ làm được $5$ cốc sinh tố giá $20$ nghìn đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu nghìn đồng từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.
Đáp án: 246

Lời giải: Đường elip có trục lớn $24$ cm, trục nhỏ $14$ cm có phương trình chính tắc
$\dfrac{x^2}{12^2}+\dfrac{y^2}{7^2}=1.$
Suy ra $y^2=7^2\left(1-\dfrac{x^2}{12^2}\right)\Leftrightarrow y=\pm7\sqrt{1-\dfrac{x^2}{12^2}}$.
Do đó thể tích quả dưa là
$\begin{array}{l} V = \pi\displaystyle\int\limits_{-12}^{12}\left(7\sqrt{1-\dfrac{x^2}{12^2}}\right)^2\mathrm{d}x=49\pi\displaystyle\int\limits_{-12}^{12}\left(1-\dfrac{x^2}{12^2}\right)^2\mathrm{d}x\\ = 49\pi\cdot \left.\left(x-\dfrac{x^3}{3\cdot 12^2}\right)\right|_{-12}^{12}=784\pi(\mathrm{cm}^3). \end{array}$
Do đó tiền bán nước thu được là $\dfrac{784\pi}{1000}\cdot 5\cdot 20\approx 246{,}3\approx 246$ nghìn đồng.