Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông – giải bài 52 -> 60 – Sách bài tập Toán 9 tập 1
Câu 52. Trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Các cạnh của một tam giác có độ dài 4cm, 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của tam giác đó.
Gợi ý làm bài:
Vì các cạnh của tam giác lần lượt là 4cm, 6cm và 6cm nên tam giác đó là tam giác cân. Góc nhỏ nhất của tam giác là góc đối diện với cạnh 4cm.
Kẻ đường cao từ đỉnh của góc nhỏ nhất. Đường cao chia cạnh đáy thành hai phần bằng nhau mỗi phần 2cm.
Ta có: \(\cos \beta = {2 \over 6} = {1 \over 3} \Rightarrow \beta \approx 70^\circ 32’\)
Suy ra: \(\alpha = 180^\circ – (\beta + \beta ) = 180^\circ – 2.70^\circ 32′ = 38^\circ 56’\)
Vậy góc nhỏ nhất của tam giác bằng \(38^\circ 56’\).
Câu 53. Trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC vuông tại A có AB = 21cm, \(\widehat C = 40^\circ \). Hãy tính các độ dài:
a) AC ; b) BC ; c) Phân giác BD.
Gợi ý làm bài:
a) Ta có: \(AC = AB.\cot g\widehat C = 21.\cot g40^\circ \approx 25,0268\left( {cm} \right)\)
b) Ta có: \(BC = {{AC} \over {\sin \widehat C}} = {{21} \over {\sin 40^\circ }} \approx 32,6702\left( {cm} \right)\)
c) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat B = 90^\circ – \widehat C = 90^\circ – 40^\circ = 50^\circ \)
Vì BD là phân giác của B nên:
\(\widehat {ABD} = {1 \over 2}\widehat B = {1 \over 2}.50^\circ = 25^\circ \)
Trong tam giác vuông ABD, ta có:
\(BD = {{AB} \over {{\rm{cos}}\widehat {ABD}}} = {{21} \over {\cos 25^\circ }} \approx 23,1709\left( {cm} \right)\)
Câu 54. Trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hình:
Biết:
AB = AC = 8cm, CD = 6cm, \(\widehat {BAC} = 34^\circ \) và \(\widehat {CAD} = 42^\circ .\) Tính
a) Độ dài cạnh BC;
b) \(\widehat {ADC}\);
c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD.
Gợi ý làm bài:
a) Kẻ \(AI \bot BC\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên:
\(BI = CI = {1 \over 2}BC\)
và \(\widehat {BAI} = {1 \over 2}\widehat {BAC} = {1 \over 2}.34^\circ = 17^\circ \)
Trong tam giác vuông AIB, ta có:
\(BI = AB.\sin \widehat {BAI} = 8.\sin 17^\circ \approx 2,339\left( {cm} \right)\)
\(BC = 2.BI = 2.2,339 = 4,678\left( {cm} \right)\)
b) Kẻ \(CE \bot AD\) \(\left( {E \in AD} \right)\)
Trong tam giác vuông CEA, ta có:
\(CE = AC.\sin \widehat {CAE} = 8.\sin 42^\circ \approx 5,353\left( {cm} \right)\)
Trong tam giác vuông CED, ta có:
\(\sin \widehat {ACD} = {{CE} \over {CD}} = {{5,353} \over 6} \approx 0,8922 \Rightarrow \widehat {ADC} \approx 63^\circ 9’\)
c) Kẻ \(BK \bot AD\) \(\left( {K \in AD} \right)\)
Trong tam giác vuông ABK, ta có:
\(BK = AB.\sin \widehat {BAK} = 8.\sin 75^\circ \approx 7,727\left( {cm} \right)\)
Câu 55. Trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC trong đó AB = 5cm, AC = 8cm, \(\widehat {BAC} = 20^\circ \) . Tính diện tích tam giác ABC, có thể dùng các thông tin dưới đây nếu cần:
\(\sin 20^\circ \approx 0,3420,\) \(cos20^\circ \approx 0,9397,\) \(tg20^\circ \approx 0,3640.\)
Gợi ý làm bài:
Kẻ \(BH \bot AC\).
Trong tam giác vuông ABH, ta có:
\(BH = AB.\sin \widehat A = 5.\sin 20^\circ \approx 1,701\left( {cm} \right)\)
Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}BH.AC = {1 \over 2}.8.1,7101 = 6,8404\left( {c{m^2}} \right)\)
Câu 56. Trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Từ đỉnh một ngọn đèn biển cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn thấy một hòn đảo dưới gốc 30° so với đường nằm ngang chân đèn. Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) bằng bao nhiêu?
Gợi ý làm bài:
Khoảng cách từ đảo đến chân cột đèn biển là cạnh kề với góc 30° , chiều cao của cột đèn biển là cạnh đối diện với góc 30° .
Vậy khoảng cách từ đảo đến chân đèn là:
\(38.\cot g30^\circ \approx 65,818\left( {cm} \right)\)
Câu 57.trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Trong tam giác ABC có \(AB = 11cm,\widehat {ABC} = 38^\circ ,\widehat {ACB} = 30^\circ \). N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính AN, AC.
Gợi ý làm bài:
Trong tam giác vuông ABN, ta có:
\(AN = AB.\sin \widehat B = 11.\sin 38^\circ \approx 6,772\left( {cm} \right)\)
Trong tam giác vuông ACN, ta có:
\(AC = {{AN} \over {\sin \widehat C}} \approx {{6,772} \over {\sin 30^\circ }} = 13,544\left( {cm} \right)\)
Câu 58.trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Để nhìn thấy đỉnh A của một vách đá dựng đứng, người ta đã đứng tại điểm P cách chân vách đá một khoảng 45m và nhìn lên một góc 25° so với đường nằm ngang (góc nhìn lên này được gọi là góc “nâng”). Hãy tính độ cao của vách đá.
Gợi ý làm bài:
Chiều cao vách đá là cạnh góc vuông đối diện với góc 25° . Khi đó chiều cao của vách đá là:
\(45.tg25^\circ \approx 20,984\left( m \right)\)
Câu 59. Trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm x và y trong các hình sau:
Gợi ý làm bài:
a) Hình a
Trong tam giác vuông ACP,ta có:
\(x = CP = AC.\sin \widehat A\)
\( = 8.\sin 30^\circ = 8.{1 \over 2} = 4\)
Trong tam giác vuông BCP, ta có:
\(y = BC = {x \over {\cos \widehat {BCP}}} = {4 \over {{\rm{cos50}}^\circ }} \approx 6,223\)
b) Hình b
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(x = AC = BC.\sin \widehat B\)
\( = 7.\sin 40^\circ \approx 4,5\)
Trong tam giác vuông ACD, ta có:
\(y = AD = AC.\cot g\widehat D\)
\( \approx 4,5\cot g60^\circ = 2,598\)
c) Hình c
Vì tứ giác CDPQ có hai góc vuông và hai cạnh CD = DP = 4 nên nó là hình vuông. Suy ra: CD = DP = PQ = QC = 4
Trong tam giác vuông BCQ, ta có:
\(x = BC = {{CQ} \over {{\rm{cos}}\widehat {BCQ}}} = {4 \over {{\rm{cos50}}^\circ }} \approx 6,223\)
\(BQ = BC.\sin \widehat {BCQ} \approx 6,223.\sin 50^\circ = 4,767\)
Trong tam giác vuông ADP, ta có:
\(AP = DP.\cot gA = 4.\cot g70^\circ \approx 1,456\)
Ta có:
\(y = AB = AP + PQ + QB\)
\(= 1,456 + 4 + 4,767 = 10,223\).
Câu 60. Trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hình:
Biết:
\(\widehat {QPT} = 18^\circ \),
\(\widehat {PTQ} = 150^\circ \),
QT = 8cm,
TR = 5cm.
Hãy tính:
a) PT;
b) Diện tích tam giác PQR.
Gợi ý làm bài:
a) Kẻ \(QS \bot PR\)
Ta có: \(\widehat {QTS} = 180^\circ – \widehat {QTP} = 180^\circ – 150^\circ = 30^\circ \)
Trong tam giác vuông QST, ta có:
\(QS = QT.\sin \widehat {QTS} = 8.\sin 30^\circ = 4\left( {cm} \right)\)
\(TS = QT.c{\rm{os}}\widehat {QTS} = 8.c{\rm{os30}}^\circ \approx 6,928\left( {cm} \right)\)
Trong tam giác vuông QSP, ta có:
\(SP = QS.\cot g\widehat {QPS} = 4.\cot g18^\circ = 12,311\left( {cm} \right)\)
\(PT = SP – TS \approx 12,311 – 6,928 = 5,383\left( {cm} \right)\)
b) Ta có:
\({S_{\Delta QPR}} = {1 \over 2}.QS.PR = {1 \over 2}.QS.(PT + TR)\)
\( \approx {1 \over 2}.4.(5,383 + 5) = {1 \over 2}.10,383 = 20,766\left( {c{m^2}} \right)\)
Trả lời