Ôn tập chương I – hệ thức lượng trong tam giác vuông – Giải bài I1 -> I5 – Sách bài tập Toán 9 tập 1.
Câu I.1 Trang 123 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC có \(\widehat A = 105^\circ \), \(\widehat B = 45^\circ \), BC = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC.
Gợi ý làm bài
Vẽ đường cao AH. Đặt BH = x, CH = y thì do H nằm giữa B và C ( hai góc $$\widehat B,\widehat C$$ là góc nhọn) suy ra x + y = 4 (xem h.bs.18).
Ta có BH = AH = HCtg30º nên x = \(ytg30^\circ = {y \over {\sqrt 3 }}\).
Vậy ta được \(x + \sqrt {3x} = 4\), suy ra \(x = {4 \over {1 + \sqrt 3 }} \approx 1,46\,(cm)\)
Vậy \(AB = {{AH} \over {\sin 45^\circ }} = {{2AH} \over {\sqrt 2 }} \approx 2,06\,(cm)\)
\(AC = 2AH \approx 1,46.2 = 2,92\,(cm)\)
Câu I.2 trang 123 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cos \(\widehat {MAN}\)
Gợi ý làm bài
(h.bs.19).
Kẻ đường cao MH của tam giác cân AMN. Ta có \(\sin \widehat {NAM} = {{HM} \over {AM}}\) và diện tích tam giác AMN là:
\(\eqalign{
& {S_{AMN}} = {1 \over 2}AN.MH = {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \cr
& = {1 \over 2}A{N^2}\sin \widehat {NAM} \cr} \)
\( = {1 \over 2}(A{D^2} + D{N^2})\sin \widehat {NAM} = {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\)
Mặt khác:
\(\eqalign{
& {S_{AMN}} = {S_{ABCD}} – {S_{ABM}} – {S_{ADM}} – {S_{MNC}} \cr
& = 4{a^2} – 2{a^2} – {{{a^2}} \over 2} = {{3{a^2}} \over 2}. \cr} \)
Suy ra \(\sin \widehat {NAM} = {3 \over 5}\)
Từ đó:
\(\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\widehat {NAM}} = \sqrt {1 – {9 \over {25}}} = {4 \over 5}.\)
Câu I.3 trang 123 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Hãy tính góc A và các cạnh AB, BC, nếu biết
BH = h và \(\widehat C = \alpha .\)
Gợi ý làm bài
(h.bs.20).
\(\widehat A = 180^\circ – 2\alpha .\)
Tam giác vuông HBC có \(BC = {h \over {\sin \alpha }}\).
Kẻ đường cao AI của tam giác ABC thì được \(AC = {{IC} \over {\cos \alpha }} = {{{{BC} \over 2}} \over {{\rm{cos}}\alpha }} = {h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\)
Vậy AB = AC = \({h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\)
Câu I.4 trang 123 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 120^\circ \), AB = a, BC = b. Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ.
Gợi ý làm bài
(h.bs.21).
Đường phân giác của góc A cắt đường phân giác của góc D tại M thì tam giác ADM có hai góc bằng
60º và 30º nên các đường phân giác đó vuông góc với nhau. Lập luận đó chứng tỏ hình MNPQ có 4 góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật.
Trong tam giác vuông ADM có \(DM = AD\sin \widehat {DAM} = b\sin 60^\circ = {{b\sqrt 3 } \over 2}.\)
Trong tam giác vuông DCN ( N là giao của đường phân giác góc D và đường phân giác góc C) có \(DN = DC\sin \widehat {DCN}{\rm{ = asin60}}^\circ {\rm{ = }}{{a\sqrt 3 } \over 2}.\)
Vậy \(MN = DN – DM = (a – b){{\sqrt 3 } \over 2}.\)
Trong tam giác vuông DCN có \(CN = CD\cos 60^\circ = {a \over 2}.\) Trong tam giác vuông BCP ( P là giao của đường phân giác góc C với đường phân giác góc B) có \(CP = CB\cos 60^\circ = {b \over 2}.\)
Vậy: \(NP = CN – CP = {{a – b} \over 2}.\)
Suy ra diện tích hình chữ nhật MNPQ là
\(MN \times NP = {(a – b)^2}{{\sqrt 3 } \over 4}\)
Câu I.5 trang 123 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat B = 37^\circ \). Gọi I là giao điểm của cạnh BC với đường trung trực của AB. Hãy tính AB, AC, nếu biết BI = 20.
Gợi ý làm bài
(h.bs.22).
Gọi H là trung điểm của AB thì trong tam giác vuông HBI, ta có HB = IBcosB nên AB = 2HB = 2IB cosB = 40cos37º \( \approx \) 31,95.
Trả lời