Câu 2.11. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
(A) cotg∝ = 1 + tg∝ ; (B) cotg∝ = 1 − tg∝ ;
(C)cotg∝ = 1.tg∝ ; (D) cotg∝ = \({1 \over {tg\alpha }}.\)
Đáp án: D
Câu 2.12. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho \(\sin \alpha = {1 \over 2}.\) Hãy tìm cosα, tgα, cotgα ( 0º <α < 90º).
Gợi ý làm bài:
\({\cos ^2}\alpha = 1 – {\sin ^2}\alpha = {3 \over 4}\) nên \(\cos \alpha = {{\sqrt 3 } \over 2}\)
\(tg\alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = {{{1 \over 2}} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 3 }} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\)
\(\cot g\alpha = {1 \over {tg\alpha }} = \sqrt {3.} \)
Câu 2.13. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho \(\cos \alpha = {3 \over 4}.\) Hãy tìm sinα, tgα, cotgα ( 0º < α < 90º ).
Gợi ý làm bài:
\(\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 – {9 \over {16}}} = {{\sqrt 7 } \over 4}.\)
\(tg\alpha = {{\sin \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha }} = {{\sqrt 7 } \over 3},\) \(\cot g\alpha = {1 \over {tg\alpha }} = {3 \over {\sqrt 7 }} = {{3\sqrt 7 } \over 7}.\)
Câu 2.14. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(AB = {1 \over 3}BC\). Hãy tính sinC, cosC, tgC, cotgC.
Gợi ý làm bài:
Do \(AB = {1 \over 3}BC\) nên \(\sin C = {{AB} \over {BC}} = {1 \over 3}.\) Từ đó
\(\eqalign{
& \cos C = \sqrt {1 – {1 \over 9}} = {{2\sqrt 2 } \over 3}, \cr
& tgC = {{\sin C} \over {\cos C}} = {1 \over {2\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 4}, \cr
& \cot gC = {4 \over {\sqrt 2 }} = 2\sqrt {2.} \cr} \)
Câu 2.15. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Hãy tính:
a) 2sin30º − 2cos60º + tg45º ;
b) sin45º + cotg60º . cos30º ;
c) cotg44º . cotg45º . cotg46º ;
Gợi ý làm bài:
a) 2sin30º − 2cos60º + tg45º = tg45º = 1 ( do sin30º = cos60º).
b) sin45º + cotg60º . cos30º = \({{\sqrt 2 } \over 2} + {1 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{1 + \sqrt 2 } \over 2}.\)
c) cotg44º . cotg45º . cotg46º = cotg45º = 1 ( vì cotg44º = tg46º ( do 44º + 46º = 90º) mà tg46º . cotg46º = 1).
Câu 2.16. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Chứng minh rằng:
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC.
Gợi ý làm bài:
Kẻ đường cao BH của tam giác ABC thì H nằm trên tia AC (để \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) là góc nhọn ), do đó HC2 = (AC – AH)2
Công thức Py-ta-go cho ta:
BC2 = BH2 + HC2
= BH2 + (AC – AH)2
= BH2 + AH2 +AC2 – 2AC.AH
= AB2 + AC2 – 2AC.AH.
Do \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên AH = AB cos60º = \({{AB} \over 2},\) suy ra BC2 = AB2 + AC2 − AB.AC .
Câu 2.17 Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tứ giác ABCD có α là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng:
\({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD.\sin a.\)
Gợi ý làm bài:
Giả sử hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại I, \(\widehat {AIB} = \alpha \) là góc nhọn.
Kẻ đường cao AH của tam giác ABD và đường cao CK của tam giác CBD.
Ta có: AH = AIsinα, CK = CIsinα, diện tích tam giác ABD là \({S_{ABD}} = {1 \over 2}BD.AH,\) diện tích tam giác CBD là: \({S_{CBD}} = {1 \over 2}BD.CK.\)
Từ đó diện tích S của tứ giác ABCD là:
\(\eqalign{
& S = {S_{ABD}} + {S_{CBD}} \cr
& = {1 \over 2}BD.(AH + CK) \cr
& = {1 \over 2}BD.(AI + CI)\sin \alpha \cr
& = {1 \over 2}{\rm{BC}}{\rm{.ACs}}in\alpha \cr} \)
Câu 2.18. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho góc nhọn α
a) Chứng minh rằng \({{1 – tg\alpha } \over {1 + tg\alpha }} = {{\cos \alpha – \sin \alpha } \over {\cos \alpha + \sin \alpha }}.\)
b) Cho \(tg\alpha = {1 \over 3}.\) Tính \({{\cos \alpha – \sin \alpha } \over {\cos \alpha + \sin \alpha }}\).
Gợi ý làm bài:
a) \({{1 – tg\alpha } \over {1 + tg\alpha }} = {{1 – {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}} \over {1 + {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}}} = {{\cos \alpha – \sin \alpha } \over {\cos \alpha + \sin \alpha }}.\)
b) \({{\cos \alpha – \sin \alpha } \over {\cos \alpha + \sin \alpha }} = {{1 – tg\alpha } \over {1 + tg\alpha }} = {{1 – {1 \over 3}} \over {1 + {1 \over 3}}} = {1 \over 2}.\)
Câu 2.19 Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tính giá trị của biểu thức
a) \({{3\cot g60^\circ } \over {2{{\cos }^2}30^\circ – 1}}\); b) \({{\cos 60^\circ } \over {1 + \sin 60^\circ }} + {1 \over {tg30^\circ }}.\)
Gợi ý làm bài:
a)
\(\eqalign{
& {{3\cot g60^\circ } \over {2{{\cos }^2}30^\circ – 1}} \cr
& = {{\sqrt 3 } \over {2{{\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2} – 1}} \cr
& = {{\sqrt 3 } \over {{3 \over 2} – 1}} = 2\sqrt 3 \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& {{\cos 60^\circ } \over {1 + \sin 60^\circ }} + {1 \over {tg30^\circ }} \cr
& = {{{1 \over 2}} \over {1 + {{\sqrt 3 } \over 2}}} + \sqrt 3 \cr
& = {1 \over {2 + \sqrt 3 }} + \sqrt 3 \cr
& = {{2(2 + \sqrt {3)} } \over {2 + \sqrt 3 }} = 2. \cr} \)
Câu 2.20. Trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Trong hình thang vuông ABCD với đáy là AD, BC có \(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \), \(\widehat {ACD} = 90^\circ ,BC = 4cm,AD = 16cm.\) Hãy tìm các góc C và D của hình thang.
Gợi ý làm bài:
Kẻ đường cao CH của tam giác ACD vuông tại C. Khi đó:
AH = BC = 4, HD = AD – AH = 12. Từ đó: HC2 = HA.HD = 48, vậy HC = \(4\sqrt 3 \).
Trong tam giác vuông HCD, ta có:
\(tgD = {{HC} \over {HD}} = {{4\sqrt 3 } \over {12}} = {{\sqrt 3 } \over 3} = tg30^\circ \) nên \(\widehat D = 30^\circ \). Suy ra: \(\widehat {BCD} = 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ .\)
Câu 2.21. Trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tính các góc của một hình thoi, biết hai đường chéo của nó có độ dài là và 2.
Gợi ý làm bài:
Coi đường chéo \(AC = 2\sqrt 3 \), đường chéo BD = 2 thì để ý rằng AC và BD vuông góc, ta có: \(tg\widehat {DAC} = {{OD} \over {OA}} = {1 \over {\sqrt 3 }} = tg30^\circ \) nên \(\widehat {DAC} = 30^\circ \) từ đó góc A của hình thoi là 60º. Suy ra \(\widehat C = 60^\circ \) còn \(\widehat B = \widehat D = 120^\circ \)
Câu 2.22 Trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Các cạnh của một hình chữ nhật bằng 3cm và \(\sqrt 3 \) cm. Hãy tìm các góc hợp bởi đường chéo và các cạnh của hình chữ nhật đó.
Gợi ý làm bài:
Hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm, BC = \(\sqrt 3 \) cm nên \(tg\widehat {BAC} = {{BC} \over {AB}} = {{\sqrt 3 } \over 3} = tg30^\circ .\)
Vậy \(\widehat {BAC} = 30^\circ \), \(\widehat {DAC} = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ .\)
Trả lời