Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông – giải bài 61 -> 71 – Sách bài tập Toán 9 tập 1.
Câu 61. Trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho BCD là tam giác đều cạnh 5cm và góc DBA bằng 40°.
Hãy tính:
a) AD;
b) AB.
Gợi ý làm bài:
a) Kẻ \(DE \bot BC\)
Suy ra: \(BE = EC = {1 \over 2}BC = 2,5\left( {cm} \right)\)
Trong tam giác vuông BDE, ta có:
\(DE = BD.\sin \widehat {DBE} = 2,5.\sin 60^\circ = {{5\sqrt 3 } \over 2}\left( {cm} \right)\)
Trong tam giác vuông ADE, ta có:
\(AD = {{DE} \over {\sin \widehat A}} = {{{{5\sqrt 3 } \over 2}} \over {\sin 40^\circ }} \approx 6,736\left( {cm} \right)\)
b) Trong tam giác vuông ADE, ta có:
\(AE = AD.\cot g\widehat A \approx 6,736.\cot g40^\circ = 5,16\left( {cm} \right)\)
Ta có: \(AB = AE – BE = 5,16 – 2,5 = 2,66\left( {cm} \right)\)
Câu 62 trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 25cm, HC = 64cm. Tính \(\widehat B,\widehat C\)
Gợi ý làm bài
Theo hệ thức liên hệ giữa đường có và hình chiếu, ta có:
\(A{H^2} = HB.HC\)
Suy ra:
\(AH = \sqrt {HB.HC} = \sqrt {25.64} = \sqrt {1600} = 40\) (cm)
Trong tam giác vuông ABH, ta có:
\(tgB = {{AH} \over {HB}} = {{40} \over {25}} = 1,6\)
Suy ra:
\(\widehat B \approx 57^\circ 59’\)
Vì tam giác ABC vuông nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra:
\(\widehat C = 90^\circ – \widehat B = 90^\circ – 57^\circ 59′ = 32^\circ 1’\)
Câu 63 trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC có BC = 12cm, \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 40^\circ .\) Tính:
a) Đường cao CH và cạnh AC;
b) Diện tích tam giác ABC.
Gợi ý làm bài
a) Trong tam giác vuông BCH, ta có:
\(CH = BC.\sin \widehat B = 12.\sin 60^\circ \approx 10,392\) (cm)
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(\widehat A = 180^\circ – (60^\circ + 40^\circ ) = 80^\circ \)
Trong tam giác vuông ACH, ta có:
\(AC = {{CH} \over {\sin \widehat A}} \approx {{10,392} \over {\sin 80^\circ }} = 10,552\) (cm)
b) Kẻ \(AK \bot BC\)
Trong tam giác vuông ACK, ta có:
\(AK = AC.\sin \widehat C \approx 10,552.\sin 40^\circ = 6,783\) (cm)
Vậy \({S_{ABC}} = {1 \over 2}.AK.BC \approx {1 \over 2}.6,783.12 = 40,696\) (cm2)
Câu 64 trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tính diên tích của hình bình hành có hai cạnh 12cm và 15cm, góc tạo bởi hai cạnh ấy bằng 100\(^\circ \).
Gợi ý làm bài
Giả sử hình bình hành MNPQ có MN = 12cm, MQ = 15cm, \(\widehat {NMQ} = 110^\circ \)
Ta có: \(\widehat {NMQ} + \widehat {MNP} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)
Suy ra: \(\widehat {MNP} = 180^\circ – \widehat {NMQ}\)
\( = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ \)
Kẻ \(MR \bot NP\)
Trong tam giác vuông MNR, ta có:
\(\eqalign{
& MR = MN.\sin \widehat {MNP} \cr
& = 12.\sin 70^\circ \approx 11,276\,(cm) \cr} \)
Vậy \({S_{MNPQ}} = MN.NP \approx 11,276.15 = 169,14\) (cm2).
Câu 65 trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tính diện tích hình thang cân, biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm, góc ở đáy bằng 75\(^\circ \)
Gợi ý làm bài
Giả sử hình thang cân ABCD có AB = 12cm, CD = 18cm, \(\widehat D = 75^\circ \)
Kẻ \(AH \bot CD,BK \bot CD\)
Vì tứ giác ABKH là hình chữ nhật nên: AB = HK = 12 (cm)
Ta có: tam giác ADH = tam giác BCK (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: DH = CK
Suy ra:
\(DH = {{CD – HK} \over 2} = {{18 – 12} \over 2} = 3\,(cm)\)
Trong tam giác vuông ADH, ta có:
\(AH = DH.tgD = 3.tg75^\circ \approx 11,196\,(cm)\)
Vậy:
\(\eqalign{
& {S_{ABCD}} = {{AB + CD} \over 2}.AH \cr
& \approx {{12 + 18} \over 2}.11,196 = 167,94 \cr} \) (cm2).
Câu 66 trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Một cột cờ cao 3,5m có bóng trên mặt đất dài 4,8m. Hỏi góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu?
Gợi ý làm bài
Chiều cao cột cờ là cạnh đối diên với góc giữa tia sang mặt trời và bóng cột cờ, chiều dài bóng là cạnh kề góc nhọn.
Ta có: \(tg\beta = {{3,5} \over {4,8}} = {{35} \over {48}}\)
Suy ra: \(\beta = 36^\circ 6’\)
Câu 67 trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Từ đỉnh một tòa nhà cao 60m, người ta nhìn thấy một chiếc ô tô đang đỗ dưới một góc 28\(^\circ \) so với đường nằm ngang. Hỏi chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó bao nhiêu mét?
Gợi ý làm bài
Khoảng cách từ xe ô tô đến tòa nhà là cạnh kề với góc 28\(^\circ \), chiều cao tòa nhà là cạnh đối với góc nhọn.
Vậy chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà:
\(60.\cot g28^\circ \approx 112,844\,(m)\)
Câu 68 trang 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Một em học sinh đứng ở mặt đất cách tòa tháp ăng-ten 150m. Biết rằng em nhìn thấy đỉnh tháp ở góc 20\(^\circ \) so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 1,5m. Hãy tính chiều cao của tháp.
Gợi ý làm bài
Phần còn lại của cột ăng-ten là cạnh đối của góc 20\(^\circ \), khoảng cách từ chỗ em đứng đến chân cột ăng-ten là cạnh kề với góc 20\(^\circ \).
Phần còn lại của cột ăng-ten cao là:
\(150.tg20^\circ \approx 54,596\,(m)\)
Chiều cao của cột ăng-ten là:
54,596 + 1,5 = 56,096 (m).
Câu 69 trang 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Hai cột thẳng của hai trại A và B, của lớp 9A và lớp 9B, cách nhau 8m. Từ một cái cọc ở chính giữa hai cột, người ta đo được góc giữa các dây căng từ đỉnh hai cột của hai trại A và B đến cọc tạo với mặt đất lần lượt là 35\(^\circ \) và 30\(^\circ \) (h.23). Hỏi trại nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét?
Gợi ý làm bài
Chiều cao trại A là cạnh góc vuông đối diện với góc nhọn 35\(^\circ \), chiều cao trại B là cạnh góc vuông đối diện với góc nhọn 30\(^\circ \), cạnh kề với hai góc nhọn bằng nhau bằng 4m.
Chiều cao trại A là: \(4.tg35^\circ \approx 2,801\,(m)\)
Chiều cao trại B là: \(4.tg30^\circ \approx 2,309\,(m)\)
Trại A cao hơn trại B là: \(2,801 – 2,309 = 0,492\,(m)\)
Câu 70 trang 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Một người trinh sát đứng cách một tòa nhà một khoảng 10m. Góc “nâng” từ chỗ anh ta đứng đến nóc nhà là 40\(^\circ \) (h.24).
a) Tính chiều cao của tòa nhà.
b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 35\(^\circ \) thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét? Khi đó anh ta tiến lại gần hay ra xa ngôi nhà?
Gợi ý làm bài
a) Chiều cao tòa nhà là cạnh góc vuông đối diện với góc 40\(^\circ \) , khoảng cách từ chỗ người trinh sát đứng đến ngôi nhà là cạnh kề.
Chiều cao của tòa nhà là:
\(10.tg40^\circ \approx 8,391\,(m)\)
b) Nếu dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 35\(^\circ \) thì anh ta cách tòa nhà:
\(8,391.\cot g35^\circ \approx 11,934\,(m)\)
Câu 71 trang 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Một chiếc diều ABCD có AB = BC, AD = DC. Biết \(AB = 12cm,\widehat {ADC} = 40^\circ \)
\(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (h.25)
Hãy tính:
a) Chiều dài cạnh AD;
b) Diện tích của chiếc diều.
Gợi ý làm bài
a) Nối AC và kẻ \(DH \bot AC\)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(\eqalign{
& A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \cr
& = {12^2} + {12^2} = 144 + 144 = 288 \cr} \)
Suy ra: \(AC = 12\sqrt 2 \,(cm)\)
Ta có: tam giác ACD cân tại D
\(DH \bot AC\)
Suy ra: \(HA = HC = {{AC} \over 2} = 6\sqrt 2 \,(cm)\)
\(\widehat {ADH} = {1 \over 2}\widehat {ADC} = 20^\circ \)
Trong tam giác vuông ADH, ta có:
\(\eqalign{
& {\rm{AD = }}{{AH} \over {\sin \widehat {ADH}}} \cr
& = {{6\sqrt 2 } \over {\sin 20^\circ }} \approx 24,809\,(cm) \cr} \)
b) Ta có:
\({S_{ABC}} = {1 \over 2}.AB.BC = {1 \over 2}.12.12 = 72\,\) (cm2)
Trong tam giác vuông ADH, ta có:
\(\eqalign{
& DH = AH.\cot g\widehat {ADH} \cr
& = 6\sqrt 2 .\cot g20^\circ \approx 23,313\,(cm) \cr} \)
Mặt khác:
\(\eqalign{
& {S_{ADC}} = {1 \over 2}.DH.AC \cr
& \approx {1 \over 2}.23,313.12\sqrt 2 = 197,817 \cr} \) (cm2)
Vậy Sdiều \(\eqalign{
& = {S_{ABC}} + {S_{ADC}} \cr
& = 72 + 197,817 = 269,817 \cr} \) (cm2)
Trả lời