Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số có 2 loại:

A. Loại 1: (Đặt t = u(x))

Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số như sau:
Để tính tích phân $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$ với $f\left( x \right)=g\left[ u\left( x \right) \right].u’\left( x \right)$, ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau
Bước 1. Đặt $t=u\left( x \right)\Rightarrow \text{d}t=u’\left( x \right)\text{d}x$.

Bước 2: Đổi cận \[\left\{ \begin{align}
& x=a\Rightarrow t=u\left( a \right) \\
& x=b\Rightarrow t=u\left( b \right) \\
\end{align} \right..\]
Bước 3. Thay vào ta có $I=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{g\left( t \right)\text{d}t}=G\left( t \right)\left| _{\begin{smallmatrix}
\\ u\left( a \right) \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
u\left( b \right) \\ \end{smallmatrix}} \right..$

Xem thêm: Tính nguyên hàm bằng Phương pháp đổi biến số

* Ví dụ 1: (Hàm đa thức, có căn)

1) ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} $

Đặt t = x$^2$ + 1 → dt = 2xdx → xdx = 0,5dt
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 1 \to t = 2\end{array} \right.$
Vậy : ${I_1} = \int\limits_1^2 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t} = \frac{1}{2}\left. {\ln t} \right|} } _1^2 = \frac{1}{2}\ln 2$

2) \(I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}\)

Đặt: \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} – 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)

Vậy: \(I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} – 1} \right)t.tdt} = \left( {\frac{{{t^5}}}{5} – \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.\)

3)  \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\)

Đặt: \(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2\)

\(\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} – 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t – 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} – {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}\)

---

* Ví dụ 2: (Hàm mũ, logarit)

1) ${I} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} – 1}}}$

Đặt t = e$^x$ – 1 → dt = e$^x$dx
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to t = e – 1\\x = 2 \to t = {e^2} – 1\end{array} \right.$

Vậy: ${I} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} – 1}}} = \int\limits_{e – 1}^{{e^2} – 1} {\frac{{dt}}{t} = \left. {\ln t} \right|} _{e – 1}^{{e^2} – 1} = \ln (e + 1)$

2) $I = \int\limits_0^1 {{e^{{x^2} + 1}}xdx} $

Đặt $t = {x^2}+1 \Rightarrow dt = 2xdx$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 1 \to t = 2\end{array} \right.$

 

$ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {{e^t}dt} = \frac{1}{2}{e^t}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \frac{1}{2}\left( {{e^2} – e} \right)$

3) ${I} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}}$

Đặt ${t^{}} = 1 + \ln x\quad \Rightarrow \quad tdt = \frac{1}{x}dx\quad $

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to t = 1\\x = e \to t = 2\end{array} \right.$

${I} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}} = \int\limits_1^2 {\sqrt t dt }$

$= \frac{2}{3}.t^\frac{3}{2}|_{1}^{2} = \frac{2}{3}(2\sqrt 2 – 1)$

---

* Ví dụ 3: (Hàm lượng giác)

1) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x.\cos x.dx} \)

Đặt \(t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow dt = \cos xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = 0\\x = \frac{\pi }{2},t = 1\end{array} \right.\)

\(I = \int\limits_0^1 {{t^2}dt.}=\frac{t^3}{3}|_{0}^{1}=\frac{1}{3} \)

2) ${I} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos xdx}}{{{{(\sin x + 1)}^4}}}} $

Đặt : t = sin(x) + 1 → dt = cos(x)dx
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \to t = 1\\
x = \frac{\pi }{2} \to t = 2
\end{array} \right.$
Vậy: ${I} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos xdx}}{{{{(\sin x + 1)}^4}}}} = \int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{{{t^4}}}} = \left. { – \frac{1}{{3{t^3}}}} \right|_1^2 = \frac{7}{{24}}$

===============

B. Loại 2: (Đặt x = u(t))

Dạng 1:  $\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đặt $x=a.sint$

Dạng 2: $\frac{1}{x^2+a^2}$ đặt $x=a.tant$

1) $I = \int\limits_0^2 {\sqrt {4 – {x^2}} dx} $

Đặt $x = 2\sin t$  ($ – \frac{\pi }{2} \le t \le \frac{\pi }{2}$)

$ \Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \to t = 0\\
x = 2 \to t = \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$

$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {4 – 4{{\sin }^2}t} .2\cos tdt}$

$=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {4\left( {1 – {{\sin }^2}t} \right)} .2\cos tdt} $

$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {4{{\cos }^2}t} .2\cos tdt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {4{{\cos }^2}tdt} $

$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} $

$ = 2\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \pi $

2) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}}\)

Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\)

Vậy: \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 – 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt}\)

\(= t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{6}}\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}\)

3) $J = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{1 + {x^2}}}dx} $

Đặt $x = \tan t \Rightarrow dx = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}dt$

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\)

$ J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\tan t}}{{1 + {{\tan }^2}t}}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt}$

$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan tdt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin t}}{{\cos t}}dt} $

$ = – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {\cos t} \right)’}}{{\cos t}}dt} = – \ln \left( {\cos t}\right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. = – \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}$