📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) thỏa mãn $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{5}$. Tính giá trị của biểu thức $P = \tan\alpha + \cot\alpha$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán liên quan đến đối xứng của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$, ta áp dụng các hệ thức cơ bản sau:
- Hằng đẳng thức cơ bản: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ với mọi góc $\alpha$.
- Bình phương hai vế của $\sin\alpha + \cos\alpha$ để tính tích $\sin\alpha\cos\alpha$:
$$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$$ - Biểu diễn $P = \tan\alpha + \cot\alpha$ theo $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$:
$$P = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$$
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính giá trị của tích $\sin\alpha\cos\alpha$.
Ta có: $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{5}$.
Bình phương hai vế đẳng thức, ta được:
$$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2$$
$$\Leftrightarrow \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25}$$
Do $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ nên:
$$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25} \Leftrightarrow 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25} – 1 = -\frac{24}{25} \Leftrightarrow \sin\alpha\cos\alpha = -\frac{12}{25}$$
Bước 2: Biến đổi và tính giá trị của biểu thức $P$.
Biểu thức $P = \tan\alpha + \cot\alpha$ được biến đổi như sau:
$$P = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$$
Thay $\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{12}{25}$ vào biểu thức, ta được:
$$P = \frac{1}{-\frac{12}{25}} = -\frac{25}{12}$$
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức $A = \sin^2 15^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 75^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Áp dụng tính chất của hai góc phụ nhau ($x + y = 90^\circ \Rightarrow \sin y = \cos x$):
$\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$ và $\sin 55^\circ = \cos 35^\circ$.
Khi đó biểu thức $A$ trở thành:
$$A = (\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) + (\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ) = 1 + 1 = 2$$
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 2: Cho góc $\alpha$ là góc tù ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) thỏa mãn $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$. Tính giá trị của biểu thức $E = 2\sin\alpha – 3\tan\alpha$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Vì $\alpha$ là góc tù nên $\sin\alpha > 0$. Ta có:
$$\sin\alpha = \sqrt{1 – \cos^2\alpha} = \sqrt{1 – \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$
Từ đó suy ra $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.
Thay vào biểu thức $E$:
$$E = 2\left(\frac{3}{5}\right) – 3\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{6}{5} + \frac{9}{4} = \frac{24 + 45}{20} = \frac{69}{20}$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 3: Cho góc $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ, \alpha \ne 90^\circ$) thỏa mãn $\tan\alpha = 3$. Tính giá trị của biểu thức $Q = \frac{2\sin\alpha – 5\cos\alpha}{3\sin\alpha + \cos\alpha}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Do $\tan\alpha = 3$ tồn tại nên $\cos\alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu của $Q$ cho $\cos\alpha$:
$$Q = \frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} – 5}{3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 1} = \frac{2\tan\alpha – 5}{3\tan\alpha + 1}$$
Thay $\tan\alpha = 3$ vào biểu thức:
$$Q = \frac{2(3) – 5}{3(3) + 1} = \frac{1}{10}$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 4: Đơn giản biểu thức $N = \sin(180^\circ – \alpha)\sin\alpha – \cos(180^\circ – \alpha)\cos\alpha$ với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Áp dụng công thức liên hệ giữa hai góc bù nhau:
$$\sin(180^\circ – \alpha) = \sin\alpha$$
$$\cos(180^\circ – \alpha) = -\cos\alpha$$
Thay vào biểu thức $N$, ta có:
$$N = \sin\alpha \cdot \sin\alpha – (-\cos\alpha) \cdot \cos\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 5: Cho góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) thỏa mãn $\sin\alpha – \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $T = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Bình phương hai vế của $\sin\alpha – \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$$(\sin\alpha – \cos\alpha)^2 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 – 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$$
Biến đổi biểu thức $T$:
$$T = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 – 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 – 2(\sin\alpha\cos\alpha)^2$$
Thay $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$ vào:
$$T = 1 – 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 – \frac{2}{16} = 1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$
👉 Chọn đáp án: A
Để lại phản hồi