Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -2$ và công bội $q = 3$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau

• a) $u_3 = 4 \cdot (-2)^2 = 16$. (Đúng)

• b) $u_5 = 4 \cdot (-2)^4 = 4 \cdot 16 = 64 \ne -64$. (Sai)

• c) $S_5 = 4 \cdot \frac{1 – (-2)^5}{1 – (-2)} = 4 \cdot \frac{1 – (-32)}{3} = 4 \cdot \frac{33}{3} = 44$. (Đúng)

• d) Xét $u_n = 4 \cdot (-2)^{n-1} = -512 \Leftrightarrow (-2)^{n-1} = -128 = (-2)^7 \Leftrightarrow n – 1 = 7 \Leftrightarrow n = 8 \in \mathbb{N}^*$. Vậy $-512$ là số hạng thứ 8. (Đúng)

👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng

• a) $u_4 = (-1) \cdot (-3)^3 = (-1) \cdot (-27) = 27$. (Đúng)

• b) $u_n = (-1) \cdot (-3)^{n-1}$. Khi $n$ lẻ thì $n-1$ chẵn $\Rightarrow (-3)^{n-1} > 0 \Rightarrow u_n < 0$. (Đúng)

• c) Tương tự dạng toán trong bài tổng cấp số nhân với công bội q = -3, ta có: $S_6 = (-1) \cdot \frac{1 – (-3)^6}{1 – (-3)} = (-1) \cdot \frac{1 – 729}{4} = (-1) \cdot \frac{-728}{4} = 182$. (Đúng)

• d) $S_n = (-1) \cdot \frac{1 – (-3)^n}{1 – (-3)} = \frac{(-3)^n – 1}{4}$. (Đúng)

👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng

• a) Do $u_1 = 6 > 0$ và $0 < q = \frac{1}{2} < 1$ nên $u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n < u_n$ với mọi $n \ge 1$. Dãy số giảm. (Đúng)

• b) $u_5 = u_1 \cdot q^4 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. (Đúng)

• c) $S_4 = 6 \cdot \frac{1 – (1/2)^4}{1 – 1/2} = 6 \cdot \frac{1 – 1/16}{1/2} = 12 \cdot \frac{15}{16} = \frac{45}{4}$. (Đúng)

• d) Ta có $S_n = 6 \cdot \frac{1 – (1/2)^n}{1/2} = 12 \left[1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n\right]$. Vì $\left(\frac{1}{2}\right)^n > 0$ nên $S_n < 12$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. (Sai)

👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai

• a) $u_7 = 5 \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320$. (Đúng)

• b) Xem thêm bài toán về cấp số nhân u1 = 5; ta có $S_5 = 5 \cdot \frac{2^5 – 1}{2 – 1} = 5 \cdot (32 – 1) = 5 \cdot 31 = 155$. (Đúng)

• c) $S_n = 5(2^n – 1) = 635 \Leftrightarrow 2^n – 1 = 127 \Leftrightarrow 2^n = 128 = 2^7 \Leftrightarrow n = 7 \in \mathbb{N}^*$. (Đúng)

• d) $\frac{u_{n+2}}{u_n} = \frac{u_1 \cdot q^{n+1}}{u_1 \cdot q^{n-1}} = q^2 = 2^2 = 4$. (Đúng)

👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng

• a) $u_1 = \frac{u_2}{q} = \frac{-6}{-2} = 3$. (Đúng)

• b) $u_5 = u_1 \cdot q^4 = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48$. (Đúng)

• c) $S_8 = 3 \cdot \frac{1 – (-2)^8}{1 – (-2)} = 3 \cdot \frac{1 – 256}{3} = 1 – 256 = -255$. (Đúng)

• d) Công thức số hạng tổng quát là $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}$, không phải $3 \cdot (-2)^n$. (Sai)

👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai