📌 Đề bài:
Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Tính đơn điệu của hàm số lượng giác $y = \sin x$ trên tập số thực $\mathbb{R}$:
- Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\right)$ với $k \in \mathbb{Z}$.
- Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi\right)$ với $k \in \mathbb{Z}$.
- Mẹo nhận biết trên đường tròn lượng giác: Khi điểm biểu diễn góc $x$ di chuyển từ cực dưới $-\dfrac{\pi}{2}$ dọc theo nửa bên phải đường tròn lượng giác lên cực trên $\dfrac{\pi}{2}$, tung độ tương ứng (trục $\sin$) tăng liên tục từ $-1$ lên $1$, do đó hàm số đồng biến.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Theo định nghĩa và tính chất của hàm số lượng giác cơ bản $y = \sin x$:
- Với $k = 0$, hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + 0\cdot 2\pi; \dfrac{\pi}{2} + 0\cdot 2\pi\right) = \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
- Khoảng $(0; \pi)$ chứa cả điểm cực đại $x = \dfrac{\pi}{2}$ (hàm số đồng biến trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$ và nghịch biến trên $\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$) nên không thể là khoảng đơn điệu.
- Khoảng $\left(\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right)$ là khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$.
- Khoảng $(\pi; 2\pi)$ chứa điểm cực tiểu $x = \dfrac{3\pi}{2}$ (hàm số nghịch biến trên $\left(\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right)$ và đồng biến trên $\left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$) nên không đơn điệu trên khoảng này.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn đáp án A.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. $(0; \pi)$ B. $(-\pi; 0)$ C. $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ D. $\left(\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Đáp án: B.
Bài tập 2: Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ B. $(0; \pi)$ C. $\left(\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right)$ D. $\left(\dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2}\right)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Đáp án: C.
Bài tập 3: Khẳng định nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số $y = \tan x$ là đúng?
A. Đồng biến trên $\mathbb{R}$. B. Nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$. D. Nghịch biến trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Đáp án: C.
Bài tập 4: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \cos 2x$ trên khoảng $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Trên khoảng $(0; \pi)$, hàm số $y = \cos u$ nghịch biến theo $u$. Vì $u = 2x$ là hàm số đồng biến theo $x$, nên hàm số $y = \cos 2x$ nghịch biến trên khoảng $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
Bài tập 5: Hàm số $y = \sin\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. $\left(-\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{3\pi}{4}\right)$ B. $\left(\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{5\pi}{4}\right)$ C. $\left(\dfrac{3\pi}{4}; \dfrac{7\pi}{4}\right)$ D. $(0; \pi)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Với $k = 0$, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{3\pi}{4}\right)$.
Đáp án: A.
Để lại phản hồi